Seja T: R^4 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z, t)=(4 x+y-2 z-3 t, 2 x+y+z-4 t, 6 x-9 y+9 z)
Esta transformação linear é sobrejetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que faz parte da Álgebra Linear. A questão nos pede para verificar se uma certa transformação linear é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em tem pelo menos uma pré-imagem em . Para resolver isso, vamos analisar a matriz associada à transformação e verificar seu posto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação linear T(x, y, z, t) = (4x + y - 2z - 3t, ; 2x + y + z - 4t, ; 6x - 9y + 9z) . A transformação está definida por:
A = 4 & 1 & -2 & -3 2 & 1 & 1 & -4 6 & -9 & 9 & 0
Podemos escrever isso como uma matriz de tamanho :

Passo 3

Agora, vamos determinar o posto dessa matriz . O posto é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Se o posto for igual ao número de linhas da matriz (no caso, 3), isso significa que as colunas de geram todo o espaço , ou seja, a transformação é sobrejetora.

Passo 4

Para encontrar o posto, vamos realizar uma eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Começamos com a matriz 4 & 1 & -2 & -3 2 & 1 & 1 & -4 6 & -9 & 9 & 0 :
1 & 14 & -12 & -34 2 & 1 & 1 & -4 6 & -9 & 9 & 0
Primeiro, dividimos a primeira linha por 4 para facilitar os cálculos:
1 & 14 & -12 & -34 0 & 12 & 2 & -132 0 & -152 & 12 & 92
Em seguida, eliminamos o das outras linhas subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda e 6 vezes a primeira linha da terceira:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha multiplicando por 2:
1 & 14 & -12 & -34 0 & 1 & 4 & -13 0 & -152 & 12 & 92
Em seguida, eliminamos o 1 & 14 & -12 & -34 0 & 1 & 4 & -13 0 & 0 & 42 & -93 da terceira linha adicionando vezes a segunda linha à terceira:

Passo 6

Agora, a matriz está na forma escalonada e podemos ver que há 3 linhas não nulas, o que significa que o posto da matriz é 3.

Resposta

Como o posto da matriz é igual ao número de linhas ( ), a transformação linear é sobrejetora. Ou seja, para todo vetor em , existe pelo menos uma pré-imagem em que mapeia para ele.

Exercícios relacionados

Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(h) 2y-1+3(y-1)^2;
Calcule a quantidade de inversões das permutações abaixo:
(a) (llll4 & 3 & 2 & 1)
Calcule a quantidade de inversões das permutações abaixo:
(b) (lllll2 & 3 & 4 & 5 & 1)
Calcule a quantidade de inversões das permutações abaixo:
© (llllll4 & 5 & 6 & 1 & 2 & 3)