Esta transformação linear é sobrejetora? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que faz parte da Álgebra Linear. A questão nos pede para verificar se uma certa transformação linear é sobrejetora, ou seja, se todo vetor em tem pelo menos uma pré-imagem em . Para resolver isso, vamos analisar a matriz associada à transformação e verificar seu posto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que representa a transformação linear . A transformação está definida por:
Podemos escrever isso como uma matriz de tamanho :
Passo 3
Agora, vamos determinar o posto dessa matriz . O posto é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Se o posto for igual ao número de linhas da matriz (no caso, 3), isso significa que as colunas de geram todo o espaço , ou seja, a transformação é sobrejetora.
Passo 4
Para encontrar o posto, vamos realizar uma eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Começamos com a matriz 4 & 1 & -2 & -3 2 & 1 & 1 & -4 6 & -9 & 9 & 0 :
1 & 14 & -12 & -34 2 & 1 & 1 & -4 6 & -9 & 9 & 0
Primeiro, dividimos a primeira linha por 4 para facilitar os cálculos:
Em seguida, eliminamos o 1 & 14 & -12 & -34 0 & 1 & 4 & -13 0 & 0 & 42 & -93 da terceira linha adicionando vezes a segunda linha à terceira:
Passo 6
Agora, a matriz está na forma escalonada e podemos ver que há 3 linhas não nulas, o que significa que o posto da matriz é 3.
Resposta
Como o posto da matriz é igual ao número de linhas (), a transformação linear é sobrejetora. Ou seja, para todo vetor em , existe pelo menos uma pré-imagem em que mapeia para ele.