Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma transformação linear tal que o núcleo (nullspace) de , ou seja, , seja igual à imagem de , . Vamos usar conceitos de transformação linear, imagem e núcleo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a imagem de . A transformação leva vetores de para , e sabemos onde ela manda dois vetores específicos: e . A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.
Passo 3
Vamos encontrar uma base para . Consideramos os vetores e . Verificamos se eles são linearesmente independentes. Calculando o determinante da matriz formada por esses vetores:
Como as colunas são linearesmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), a imagem de é um subespaço de dimensão 2 em .
Passo 4
Queremos que ú. Isso significa que deve “anular” exatamente os vetores que estão em . Para isso, precisamos que as linhas da matriz de sejam ortogonais a todos os vetores em .
Passo 5
Vamos encontrar vetores que são ortogonais a 3a + 0b + 2c = 0 1a + 1b + 0c = 0 e . Chamando o vetor ortogonal de , temos:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira: => => =>
Então, os vetores ortogonais são da forma , ou seja, são múltiplos de .
Passo 6
Portanto, a matriz P = -2 & 2 & 3 deve ter suas linhas como vetores ortogonais a . Como é de dimensão 2, ú também tem dimensão 2, então terá uma linha independente.
Podemos escolher a linha como (multiplicando por 2 para eliminar frações):
Resposta
A transformação linear P(x, y, z) = (-2x + 2y + 3z, , 0) que satisfaz P = -2 & 2 & 3 0 & 0 & 0 ú é dada por: