Considere a transformação linear T: R^2 R^3 tal que
T(2,1)=(3,0,2) e T(1,2)=(1,1,0)
Encontre uma transformação linear P: R^3 R^2 tal que N u(P)=Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos uma transformação linear tal que o núcleo (nullspace) de , ou seja, ú, seja igual à imagem de , . Vamos usar conceitos de transformação linear, imagem e núcleo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a imagem de . A transformação leva vetores de para , e sabemos onde ela manda dois vetores específicos: e . A imagem de é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores.

Passo 3

Vamos encontrar uma base para 3 & 1 0 & 1 2 & 0 . Consideramos os vetores e . Verificamos se eles são linearesmente independentes. Calculando o determinante da matriz formada por esses vetores:
Como as colunas são linearesmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), a imagem de é um subespaço de dimensão 2 em .

Passo 4

Queremos que ú. Isso significa que deve “anular” exatamente os vetores que estão em . Para isso, precisamos que as linhas da matriz de sejam ortogonais a todos os vetores em .

Passo 5

Vamos encontrar vetores que são ortogonais a 3a + 0b + 2c = 0 1a + 1b + 0c = 0 e . Chamando o vetor ortogonal de , temos:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira: => => =>
Então, os vetores ortogonais são da forma , ou seja, são múltiplos de .

Passo 6

Portanto, a matriz P = -2 & 2 & 3 deve ter suas linhas como vetores ortogonais a . Como é de dimensão 2, ú também tem dimensão 2, então terá uma linha independente.
Podemos escolher a linha como (multiplicando por 2 para eliminar frações):

Resposta

A transformação linear P(x, y, z) = (-2x + 2y + 3z, , 0) que satisfaz P = -2 & 2 & 3 0 & 0 & 0 ú é dada por:
Ou, representando como uma matriz:

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Mostre que u+v é ortogonal a u-v se e somente se |u|=|v|. Interprete geometricamente.
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