Uma reta no plano tem equação .
Determine um vetor ortogonal a esta reta.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta no plano com a equação e precisa encontrar um vetor que seja ortogonal a essa reta. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, especificamente com vetores e retas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um vetor ser ortogonal a uma reta e como relacionar isso com a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma reta na forma nos dá o coeficiente angular , que representa a inclinação da reta. No nosso caso, . Um vetor direcional da reta pode ser obtido a partir desse coeficiente angular.
Para uma reta com coeficiente angular , um vetor direcional é . Assim, para nossa reta , temos o vetor direcional .

Passo 3

Agora, para encontrar um vetor ortogonal a essa reta, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular ao vetor direcional . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Queremos que esse produto seja zero.

Passo 4

Sabendo que , vamos chamar o vetor ortogonal que queremos encontrar de . Aplicando a condição de perpendicularidade:
Isso nos dá a equação:

Passo 5

Precisamos encontrar valores para e que satisfaçam essa equação. Podemos atribuir um valor a uma das variáveis e resolver para a outra. Por exemplo, se escolhermos , então:
Portanto, um vetor ortogonal à reta é:

Resposta

Um vetor ortogonal à reta é .

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Considere a função
© Mostre que e estude a concavidade de .
Calcule:
g) ,
Calcule:
m) ,
Calcule:
r) ,