Calcule o raio de um átomo de Vanádio, dado que o V possui uma estrutura cristalina CCC, uma massa específica de 5,96 g cm-3 e um peso atômico de 50,9 g mol-1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa calcular o raio de um átomo de Vanádio (V). Para isso, precisamos saber sobre estrutura cristalina (no caso, a CCC que significa Cúbica de Corpo Centrado), massa específica, peso atômico e usar umas fórmulas de física e química. Vamos precisar entender como a estrutura cristalina influencia no raio atômico e como usar a massa específica e o peso atômico para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na estrutura Cúbica de Corpo Centrado (CCC), cada célula unitária tem 2 átomos. Isso porque além dos 8 átomos nos cantos, cada um é compartilhado por 8 células, totalizando 1 átomo, e mais 1 átomo bem no centro, totalizando 2 átomos por célula.

Passo 3

A fórmula para a densidade ( rho) é:
rho = Z cdot MNA cdot a^3
Onde:
  • Z é o número de átomos por célula unitária (2 para CCC),
  • M é o peso atômico,
  • NA é o número de Avogadro ( 6,022 times 10^23 mol ^-1),
  • a é o comprimento da aresta da célula unitária que queremos encontrar.
Vamos reorganizar a fórmula para resolver a:
a^3 = Z cdot Mrho cdot NA
a = raiz[3]Z cdot Mrho cdot NA

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores:
  • Z = 2,
  • M = 50,9 , g/mol,
  • rho = 5,96 , g/cm^3,
  • NA = 6,022 times 10^23 , mol^-1.
a = raiz[3]2 cdot 50,95,96 cdot 6,022 times 10^23

Passo 5

Calculando o valor dentro da raiz cúbica:
2 cdot 50,95,96 cdot 6,022 times 10^23 = 101,835,85 times 10^23 approx 2,838 times 10^-23 , cm^3
Então:
a = raiz[3]2,838 times 10^-23 approx 2,99 times 10^-8 , cm
Convertendo para metros:
a approx 2,99 times 10^-8 , cm = 2,99 times 10^-10 , m

Passo 6

Agora, precisamos relacionar o comprimento da aresta a com o raio atômico r na estrutura CCC. Na CCC, a relação é:
a = 4rraiz3
Vamos rearranjar para encontrar r:
r = a cdot raiz34

Passo 7

Substituindo o valor de a:
r = 2,99 times 10^-10 cdot 1,7324 approx 5,17 times 10^-104 approx 1,29 times 10^-10 , m
Convertendo para picômetros (1 m = 10^12 pm):
r approx 1,29 times 10^-10 , m = 129 , pm

Resposta

O raio do átomo de Vanádio é aproximadamente 129 picômetros.

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