Calcule a série de Taylor de D(t) em torno de t0 = 10 até a terceira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a série de Taylor de uma função em torno do ponto até a terceira ordem. Isso tudo está relacionado ao conteúdo de Séries de Taylor, que é uma ferramenta matemática para aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função até a terceira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma expressão que aproxima a função usando um polinômio. Essa série é dada por:
Como o exercício pede até a terceira ordem, vamos parar por aqui.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Substituindo por e por 10, temos:

Passo 4

Vamos entender cada termo:
  1. : É o valor da função no ponto .
  2. : É a primeira derivada da função no ponto 10 multiplicada por .
  3. : É a segunda derivada da função no ponto 10 dividida por 2 fatorial, multiplicada por .
  4. : É a terceira derivada da função no ponto 10 dividida por 3 fatorial, multiplicada por .

Passo 5

Lembrando que o fatorial de um número (escrito como ) é o produto de todos os inteiros positivos até . Por exemplo, e .

Passo 6

Então, substituindo os fatoriais, a série de Taylor até a terceira ordem fica:

Resposta

A série de Taylor da função em torno de até a terceira ordem é:

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