Calcule a série de Taylor de
em torno de
até a terceira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a série de Taylor de uma função
em torno do ponto
até a terceira ordem. Isso tudo está relacionado ao conteúdo de Séries de Taylor, que é uma ferramenta matemática para aproximar funções usando polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a série de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função
até a terceira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é uma expressão que aproxima a função usando um polinômio. Essa série é dada por:
Como o exercício pede até a terceira ordem, vamos parar por aqui.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Substituindo
por
e
por 10, temos:
Passo 4
Vamos entender cada termo:
-
: É o valor da função no ponto . -
: É a primeira derivada da função no ponto 10 multiplicada por . -
: É a segunda derivada da função no ponto 10 dividida por 2 fatorial, multiplicada por . -
: É a terceira derivada da função no ponto 10 dividida por 3 fatorial, multiplicada por .
Passo 5
Lembrando que o fatorial de um número
(escrito como
) é o produto de todos os inteiros positivos até
. Por exemplo,
e
.
Passo 6
Então, substituindo os fatoriais, a série de Taylor até a terceira ordem fica:
Resposta
A série de Taylor da função
em torno de
até a terceira ordem é: