Calcule o raio de convergencia da série de potências .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o raio de convergência da série de potências:
Isso envolve entender até onde a série converge para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta padrão para encontrar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, precisamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma , o raio de convergência pode ser encontrado calculando:
Nesse caso, nosso é:
Passo 3
Vamos então montar a razão an+1an = e^n+1((n+1)^2+2(n+1)-8)(n+1)! times n!e^n(n^2+2 n-8) :
an+1an = e (n^2 + 4n + 1 - 8)n+1 times 1n^2 + 2n - 8
Simplificando isso:
an+1an = e (n^2 + 4n -7)(n+1)(n^2 + 2n -8)
Simplificando mais:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty e (n^2 + 4n -7)(n+1)(n^2 + 2n -8) tende ao infinito:
limn to infty e (1 + 4n - 7n^2)(1 + 1n)(1 + 2n - 8n^2)
Para facilitar, vamos dividir numerador e denominador por e (1 + 0 - 0)(1 + 0)(1 + 0 - 0) = e :
Quando tende ao infinito, os termos com e vão a zero, então: