Calcule o raio de convergencia da série de potências .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o raio de convergência da série de potências:
Isso envolve entender até onde a série converge para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta padrão para encontrar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, precisamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma , o raio de convergência pode ser encontrado calculando:
Nesse caso, nosso é:
Passo 3
Vamos então montar a razão :
Simplificando isso:
Simplificando mais:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Para facilitar, vamos dividir numerador e denominador por :
Quando tende ao infinito, os termos com e vão a zero, então: