Calcule o raio de convergencia da série de potências .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o raio de convergência da série de potências:
Isso envolve entender até onde a série converge para diferentes valores de . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta padrão para encontrar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, precisamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma , o raio de convergência pode ser encontrado calculando:
Nesse caso, nosso é:

Passo 3

Vamos então montar a razão :
Simplificando isso:
Simplificando mais:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Para facilitar, vamos dividir numerador e denominador por :
Quando tende ao infinito, os termos com e vão a zero, então:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, temos:

Resposta

O raio de convergência da série é .

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