(2,5 pontos) Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for empurrado horizontalmente em direção à parede a
, com que velocidade o topo da escada será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 2 m da parede?
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma escada de 7 metros de comprimento apoiada numa parede. O pé da escada está sendo empurrado em direção à parede a uma velocidade de
. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está subindo quando o pé está a 2 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da matemática.
Passo 2
Primeiro, imaginemos a situação como um triângulo retângulo, onde:
- Hipotenusa: comprimento da escada = 7 m
- Cateto horizontal (x): distância do pé da escada até a parede
- Cateto vertical (y): altura do topo da escada na parede
A relação entre esses lados é dada pelo Teorema de Pitágoras:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo (t) para relacionar as velocidades das duas partes da escada:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Isolando
(a velocidade que queremos encontrar):
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos:
- Quando
m, encontramos usando o Teorema de Pitágoras:
- A velocidade do pé da escada é
(negativa porque x está diminuindo).
Substituindo na equação:
Resposta
O topo da escada está subindo a uma velocidade de
quando o pé está a 2 metros da parede.
Exercícios relacionados
(2,5 pontos) Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio
. Encontre o maior volume possível desse cilindro.
Calcule o raio de convergencia da série de potências
.
Determine se
é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
;
Para a função
dada em
encontre suas extensões
-periódicas: par
e ímpar
.