(2,5 pontos) Uma escada com 7 m de comprimento está apoiada numa parede. Se o pé da escada for empurrado horizontalmente em direção à parede a , com que velocidade o topo da escada será deslocado para cima quando o pé da escada estiver a 2 m da parede?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma escada de 7 metros de comprimento apoiada numa parede. O pé da escada está sendo empurrado em direção à parede a uma velocidade de . Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está subindo quando o pé está a 2 metros da parede. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da matemática.

Passo 2

Primeiro, imaginemos a situação como um triângulo retângulo, onde:
  • Hipotenusa: comprimento da escada = 7 m
  • Cateto horizontal (x): distância do pé da escada até a parede
  • Cateto vertical (y): altura do topo da escada na parede
A relação entre esses lados é dada pelo Teorema de Pitágoras:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar a equação em relação ao tempo (t) para relacionar as velocidades das duas partes da escada:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Isolando (a velocidade que queremos encontrar):

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos:
  • Quando m, encontramos usando o Teorema de Pitágoras:
  • A velocidade do pé da escada é (negativa porque x está diminuindo).
Substituindo na equação:

Resposta

O topo da escada está subindo a uma velocidade de quando o pé está a 2 metros da parede.

Exercícios relacionados

(2,5 pontos) Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
Calcule o raio de convergencia da série de potências .
Determine se é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
;
Para a função dada em encontre suas extensões -periódicas: par e ímpar .