É verdadeiro ou falso?
A série de Fourier de uma função par tem
para todo
.
A série de Fourier de uma função par tem
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos saber se é verdadeiro ou falso que a série de Fourier de uma função par tem todos os coeficientes
iguais a zero para todo
natural positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função par e como são os coeficientes na série de Fourier para funções pares.
Passo 2
Vamos lembrar que uma função par é aquela que satisfaz
. Funções pares têm simetria em relação ao eixo y. Na série de Fourier, que representa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos, os coeficientes
correspondem aos cossenos e os
correspondem aos senos.
Passo 3
Agora, porque a função é par, ao calcular os coeficientes
, que multiplicam as funções ímpares (senos), vamos integrar uma função par vezes uma função ímpar. Isso resulta em zero, já que a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno da origem é zero.
Passo 4
Então, para uma função par, todos os coeficientes
da série de Fourier são iguais a zero, deixando apenas os termos com
(cossenos).
Resposta
Verdadeiro. A série de Fourier de uma função par tem
para todo
.
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É verdadeiro ou falso?
A série de Fourier de uma função ímpar tem para todo
.
A série de Fourier de uma função ímpar tem
Determine se
é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
;
Calcule o raio de convergencia da série de potências
.