É verdadeiro ou falso?
A série de Fourier de uma função par tem para todo .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos saber se é verdadeiro ou falso que a série de Fourier de uma função par tem todos os coeficientes iguais a zero para todo natural positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função par e como são os coeficientes na série de Fourier para funções pares.

Passo 2

Vamos lembrar que uma função par é aquela que satisfaz . Funções pares têm simetria em relação ao eixo y. Na série de Fourier, que representa uma função periódica como uma soma de senos e cossenos, os coeficientes correspondem aos cossenos e os correspondem aos senos.

Passo 3

Agora, porque a função é par, ao calcular os coeficientes , que multiplicam as funções ímpares (senos), vamos integrar uma função par vezes uma função ímpar. Isso resulta em zero, já que a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno da origem é zero.

Passo 4

Então, para uma função par, todos os coeficientes da série de Fourier são iguais a zero, deixando apenas os termos com (cossenos).

Resposta

Verdadeiro. A série de Fourier de uma função par tem para todo .

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