(2,5 pontos) Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio
. Encontre o maior volume possível desse cilindro.
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio
. Nosso objetivo é encontrar o maior volume possível desse cilindro. Para isso, vamos precisar entender como relacionar as dimensões do cilindro com as da esfera e usar conceitos de cálculo para maximizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar como o cilindro está inscrito na esfera. Isso significa que todas as bordas do cilindro tocam a esfera. Se desenharmos um diagrama, o cilindro terá um raio
e uma altura
.
Passo 3
Sabemos que a esfera tem raio
. Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera, o raio do cilindro e metade da altura do cilindro:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 4
O volume do cilindro é dado pela fórmula:
Queremos maximizar esse volume. Substituindo
da equação anterior:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do volume:
Para encontrar o valor de
que maximiza
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:
Passo 7
Resolvendo a equação para
:
Passo 8
Agora, substituímos
na relação
:
Resposta
O maior volume possível desse cilindro é:
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.
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é par ou ímpar ou nenhuma das duas.
;
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;