(2,5 pontos) Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio . Encontre o maior volume possível desse cilindro.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo um cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio . Nosso objetivo é encontrar o maior volume possível desse cilindro. Para isso, vamos precisar entender como relacionar as dimensões do cilindro com as da esfera e usar conceitos de cálculo para maximizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar como o cilindro está inscrito na esfera. Isso significa que todas as bordas do cilindro tocam a esfera. Se desenharmos um diagrama, o cilindro terá um raio e uma altura .

Passo 3

Sabemos que a esfera tem raio . Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera, o raio do cilindro e metade da altura do cilindro:
Isso nos dá uma relação entre e :

Passo 4

O volume do cilindro é dado pela fórmula:
Queremos maximizar esse volume. Substituindo da equação anterior:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do volume:
Para encontrar o valor de que maximiza , precisamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto máximo:

Passo 7

Resolvendo a equação para :

Passo 8

Agora, substituímos na relação :

Resposta

O maior volume possível desse cilindro é:

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