Calcule uma raiz da função f(x)=4 cos x-e^x utilizando o método de Newton. Considere x0=1, critério de parada erro relativo e tolerância varepsilon<10^-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar uma raiz da função usando o método de Newton. Esse método faz parte da matéria de Cálculo Numérico e serve para encontrar aproximações de raízes de funções de maneira iterativa. Para isso, vamos precisar da função , da sua derivada , de um valor inicial , e de um critério para parar o processo quando a aproximação estiver boa o suficiente, que no caso é quando o erro relativo for menor que .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f'(x) = -4 sin x - e^x . A derivada de é e a derivada de é . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do método de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Começamos com .

Passo 4

Vamos calcular f(1) = 4 cos(1) - e^1 approx 4 times 0,5403 - 2,7183 approx 2,1612 - 2,7183 = -0,5571 e f'(1) = -4 sin(1) - e^1 approx -4 times 0,8415 - 2,7183 approx -3,3660 - 2,7183 = -6,0843 :
x1 = 1 - -0,5571-6,0843 approx 1 - 0,0914 = 0,9086
Agora, calculamos :

Passo 5

Vamos verificar o erro relativo entre Erro Relativo = | 0,9086 - 10,9086 | approx | -0,09140,9086 | approx 0,1006 e :
Como é maior que , precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 6

Agora, calculamos f(0,9086) = 4 cos(0,9086) - e^0,9086 approx 4 times 0,6141 - 2,4829 approx 2,4564 - 2,4829 = -0,0265 e f'(0,9086) = -4 sin(0,9086) - e^0,9086 approx -4 times 0,7931 - 2,4829 approx -3,1724 - 2,4829 = -5,6553 :
x2 = 0,9086 - -0,0265-5,6553 approx 0,9086 - 0,0047 = 0,9039
Agora, calculamos :

Passo 7

Vamos verificar o erro relativo entre Erro Relativo = | 0,9039 - 0,90860,9039 | approx | -0,00470,9039 | approx 0,0052 e :
Como , atingimos a tolerância desejada e podemos parar.

Resposta

A raiz aproximada da função encontrada pelo método de Newton é .

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