Dado x^3-x-1=0, determine uma raiz no intervalo [1,2] com tolerância |xi+1-xi|<10^-2 usando o método de Newton.

Passo 1

Vamos resolver a equação procurando uma raiz no intervalo usando o método de Newton. Esse método ajuda a encontrar raízes de funções de forma iterativa, aproximando cada vez mais o valor da raiz. Para isso, precisamos da função e da sua derivada .

Passo 2

Escolhemos um ponto inicial no intervalo f(1.5) = (1.5)^3 - 1.5 - 1 = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 . Vamos começar com f'(1.5) = 3(1.5)^2 - 1 = 3(2.25) - 1 = 6.75 - 1 = 5.75 . Calculamos e :

Passo 3

Aplicamos a fórmula do método de Newton para encontrar x1 = x0 - f(x0)f'(x0) = 1.5 - 0.8755.75 approx 1.5 - 0.1522 = 1.3478 :
|x1 - x0| = |1.3478 - 1.5| = 0.1522 > 0.01
Verificamos a tolerância:
Como a diferença é maior que , precisamos continuar.

Passo 4

Usamos f(1.3478) = (1.3478)^3 - 1.3478 - 1 approx 2.448 - 1.3478 - 1 = 0.1002 para encontrar f'(1.3478) = 3(1.3478)^2 - 1 approx 3(1.8167) - 1 = 5.4501 - 1 = 4.4501 :
x2 = x1 - f(x1)f'(x1) = 1.3478 - 0.10024.4501 approx 1.3478 - 0.0225 = 1.3253
|x2 - x1| = |1.3253 - 1.3478| = 0.0225 > 0.01
Ainda não atingimos a tolerância, continuamos.

Passo 5

Agora com f(1.3253) = (1.3253)^3 - 1.3253 - 1 approx 2.327 - 1.3253 - 1 = 0.0017 :
f'(1.3253) = 3(1.3253)^2 - 1 approx 3(1.7562) - 1 = 5.2686 - 1 = 4.2686
x3 = x2 - f(x2)f'(x2) = 1.3253 - 0.00174.2686 approx 1.3253 - 0.0004 = 1.3249
|x3 - x2| = |1.3249 - 1.3253| = 0.0004 < 0.01
A diferença agora está dentro da tolerância.

Resposta

A raiz no intervalo com tolerância é aproximadamente .

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