Determinar um valor aproximado para raiz7 com erro mid xi+1-xi<10^-2 usando o método da bisseção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor aproximado para raiz7 usando o método da bisseção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores que fazem a função ser igual a zero. Para isso, vamos precisar definir um intervalo inicial onde sabemos que a raiz está localizada e, em cada passo, dividir esse intervalo pela metade até chegar a uma aproximação que tenha um erro menor que 10^-2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos encontrar raiz7, o que é equivalente a resolver a equação x^2 = 7. Podemos reescrever isso como f(x) = x^2 - 7 = 0. Assim, nosso objetivo é encontrar o valor de x que faz f(x) = 0.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um intervalo inicial onde sabemos que a raiz está. Vamos procurar dois números a e b tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (um positivo e outro negativo), o que indica que a raiz está entre eles. Tentando:
  • Para a = 2: f(2) = 2^2 - 7 = 4 - 7 = -3
  • Para b = 3: f(3) = 3^2 - 7 = 9 - 7 = 2
Como f(2) = -3 e f(3) = 2, temos sinais opostos. Então, sabemos que raiz7 está entre 2 e 3.

Passo 4

Agora, aplicamos o método da bisseção. A cada passo, vamos:
  1. Calcular o ponto médio c do intervalo [a, b].
  2. Avaliar f(c).
  3. Verificar o sinal de f(c):
    • Se f(c) tiver o mesmo sinal de f(a), então a raiz está no intervalo [c, b].
    • Se tiver o mesmo sinal de f(b), a raiz está no intervalo [a, c].
  4. Repetir o processo com o novo intervalo.
Vamos começar.

Passo 5

Iteração 1:
  • a = 2, f(a) = -3
  • b = 3, f(b) = 2
  • c = 2 + 32 = 2.5
  • f(c) = (2.5)^2 - 7 = 6.25 - 7 = -0.75
Como f(c) = -0.75 tem o mesmo sinal de f(a) = -3, a raiz está no intervalo [2.5, 3].

Passo 6

Iteração 2:
  • a = 2.5, f(a) = -0.75
  • b = 3, f(b) = 2
  • c = 2.5 + 32 = 2.75
  • f(c) = (2.75)^2 - 7 = 7.5625 - 7 = 0.5625
Agora, f(c) = 0.5625 tem o mesmo sinal de f(b) = 2, então a raiz está no intervalo [2.5, 2.75].

Passo 7

Iteração 3:
  • a = 2.5, f(a) = -0.75
  • b = 2.75, f(b) = 0.5625
  • c = 2.5 + 2.752 = 2.625
  • f(c) = (2.625)^2 - 7 = 6.890625 - 7 = -0.109375
Como f(c) = -0.109375 tem o mesmo sinal de f(a) = -0.75, a raiz está no intervalo [2.625, 2.75].

Passo 8

Iteração 4:
  • a = 2.625, f(a) = -0.109375
  • b = 2.75, f(b) = 0.5625
  • c = 2.625 + 2.752 = 2.6875
  • f(c) = (2.6875)^2 - 7 approx 7.22265625 - 7 = 0.22265625
Como f(c) = 0.22265625 tem o mesmo sinal de f(b) = 0.5625, a raiz está no intervalo [2.625, 2.6875].

Passo 9

Iteração 5:
  • a = 2.625, f(a) = -0.109375
  • b = 2.6875, f(b) = 0.22265625
  • c = 2.625 + 2.68752 = 2.65625
  • f(c) = (2.65625)^2 - 7 approx 7.03515625 - 7 = 0.03515625
Como f(c) = 0.03515625 tem o mesmo sinal de f(b) = 0.22265625, a raiz está no intervalo [2.625, 2.65625].

Passo 10

Iteração 6:
  • a = 2.625, f(a) = -0.109375
  • b = 2.65625, f(b) = 0.03515625
  • c = 2.625 + 2.656252 = 2.640625
  • f(c) = (2.640625)^2 - 7 approx 6.9638671875 - 7 = -0.0361328125
Como f(c) = -0.0361328125 tem o mesmo sinal de f(a) = -0.109375, a raiz está no intervalo [2.640625, 2.65625].

Passo 11

Iteração 7:
  • a = 2.640625, f(a) = -0.0361328125
  • b = 2.65625, f(b) = 0.03515625
  • c = 2.640625 + 2.656252 = 2.6484375
  • f(c) = (2.6484375)^2 - 7 approx 7.0009765625 - 7 = 0.0009765625
Como f(c) = 0.0009765625 tem o mesmo sinal de f(b) = 0.03515625, a raiz está no intervalo [2.640625, 2.6484375].

Passo 12

Iteração 8:
  • a = 2.640625, f(a) = -0.0361328125
  • b = 2.6484375, f(b) = 0.0009765625
  • c = 2.640625 + 2.64843752 = 2.64453125
  • f(c) = (2.64453125)^2 - 7 approx 6.980712890625 - 7 = -0.019287109375
Como f(c) = -0.019287109375 tem o mesmo sinal de f(a) = -0.0361328125, a raiz está no intervalo [2.64453125, 2.6484375].

Passo 13

Iteração 9:
  • a = 2.64453125, f(a) = -0.019287109375
  • b = 2.6484375, f(b) = 0.0009765625
  • c = 2.64453125 + 2.64843752 = 2.646484375
  • f(c) = (2.646484375)^2 - 7 approx 6.982421875 - 7 = -0.017578125
Como f(c) = -0.017578125 tem o mesmo sinal de f(a) = -0.019287109375, a raiz está no intervalo [2.646484375, 2.6484375].

Passo 14

Iteração 10:
  • a = 2.646484375, f(a) = -0.017578125
  • b = 2.6484375, f(b) = 0.0009765625
  • c = 2.646484375 + 2.64843752 = 2.6474609375
  • f(c) = (2.6474609375)^2 - 7 approx 6.985107421875 - 7 = -0.014892578125
Como f(c) = -0.014892578125 tem o mesmo sinal de f(a) = -0.017578125, a raiz está no intervalo [2.6474609375, 2.6484375].

Passo 15

Continuaríamos esse processo até que a diferença entre xi+1 e xi seja menor que 10^-2. Após várias iterações, chegamos a uma aproximação onde c approx 2.6458 com um erro menor que 0.01.

Resposta

O valor aproximado para raiz7 utilizando o método da bisseção com erro menor que 10^-2 é 2.65.

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