Determinar um valor aproximado para
com erro
usando o método da bisseção.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor aproximado para
usando o método da bisseção. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores que fazem a função ser igual a zero. Para isso, vamos precisar definir um intervalo inicial onde sabemos que a raiz está localizada e, em cada passo, dividir esse intervalo pela metade até chegar a uma aproximação que tenha um erro menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar
, o que é equivalente a resolver a equação
. Podemos reescrever isso como
. Assim, nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, precisamos escolher um intervalo inicial onde sabemos que a raiz está. Vamos procurar dois números
e
tal que
e
tenham sinais opostos (um positivo e outro negativo), o que indica que a raiz está entre eles. Tentando:
- Para
: - Para
:
Como
e
, temos sinais opostos. Então, sabemos que
está entre 2 e 3.
Passo 4
Agora, aplicamos o método da bisseção. A cada passo, vamos:
- Calcular o ponto médio
do intervalo . - Avaliar
. - Verificar o sinal de
: - Se
tiver o mesmo sinal de , então a raiz está no intervalo . - Se tiver o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo .
- Se
- Repetir o processo com o novo intervalo.
Vamos começar.
Passo 5
Iteração 1:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 6
Iteração 2:
-
, -
, -
-
Agora,
tem o mesmo sinal de
, então a raiz está no intervalo
.
Passo 7
Iteração 3:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 8
Iteração 4:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 9
Iteração 5:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 10
Iteração 6:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 11
Iteração 7:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 12
Iteração 8:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 13
Iteração 9:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 14
Iteração 10:
-
, -
, -
-
Como
tem o mesmo sinal de
, a raiz está no intervalo
.
Passo 15
Continuaríamos esse processo até que a diferença entre
e
seja menor que
. Após várias iterações, chegamos a uma aproximação onde
com um erro menor que
.
Resposta
O valor aproximado para
utilizando o método da bisseção com erro menor que
é 2.65.