Calcule raiz(2)^(raiz(2) raiz(2) ...)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a expressão . Esse tipo de problema envolve potências infinitas, ou seja, uma torre de potências que continua indefinidamente. Para resolver, vamos usar conhecimentos de álgebra e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a expressão inteira de . Assim, temos:
Isso significa que é igual a elevado a . Nosso objetivo é descobrir o valor de .

Passo 3

Para resolver a equação , vamos reescrever a raiz quadrada como potência de base 2:
Então, substituindo na equação:

Passo 4

Agora, temos a equação:
Para resolver isso, vamos assumir que há um valor de que satisfaz a equação. Testando :
Então, é uma solução válida.

Resposta

O valor da expressão é 2.

Exercícios relacionados

Prove que se a série sumn=1^infty an é absolutamente convergente, então ela é convergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty 1n ln (n)
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty(110^n+2^n)
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty ln (n)n