Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série
converge ou diverge, e calcular a soma se for possível. Estamos trabalhando com séries numéricas e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Integral, que ajuda a determinar se uma série infinita vai somar a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita
converge se a soma dos seus termos
se aproxima de um número finito conforme
tende ao infinito. Caso contrário, dizemos que a série diverge.
Passo 3
O Teste da Integral é uma ferramenta útil para séries cujos termos são positivos e decrescentes. Ele nos diz que a série
converge se a integral
for finita, e diverge se essa integral for infinita.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição simples, seja
, então
. A integral fica:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite quando
tende a infinito:
Isso significa que a integral diverge para o infinito.
Resposta
Como a integral associada diverge, a série
diverge.
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Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
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Prove que se a série
é absolutamente convergente, então ela é convergente.
Calcule