Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty 1n ln (n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série converge ou diverge, e calcular a soma se for possível. Estamos trabalhando com séries numéricas e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teste da Integral, que ajuda a determinar se uma série infinita vai somar a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série infinita converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito conforme tende ao infinito. Caso contrário, dizemos que a série diverge.

Passo 3

O Teste da Integral é uma ferramenta útil para séries cujos termos são positivos e decrescentes. Ele nos diz que a série converge se a integral for finita, e diverge se essa integral for infinita.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral2^infty 1x ln(x) dx
Fazendo uma substituição simples, seja integral 1u du = ln|u| + C = ln|ln(x)| + C , então . A integral fica:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite quando limx to infty ln|ln(x)| = infty tende a infinito:
Isso significa que a integral diverge para o infinito.

Resposta

Como a integral associada diverge, a série diverge.

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Prove que se a série sumn=1^infty an é absolutamente convergente, então ela é convergente.
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