Prove que se a série sumn=1^infty an é absolutamente convergente, então ela é convergente.

Passo 1

Beleza, então a gente tem aqui uma série sumn=1^infty an que é absolutamente convergente. Nosso objetivo é provar que se essa série é absolutamente convergente, então ela também é convergente. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e como ela garante a convergência da série original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série sumn=1^infty an é absolutamente convergente se a série das suas magnitudes, ou seja, sumn=1^infty |an|, também converge.

Passo 3

A gente sabe que se sumn=1^infty |an| converge, então a série original sumn=1^infty an também converge. Isso acontece porque a convergência da série das magnitudes implica que os termos an estão se tornando suficientemente pequenos para que a soma deles não “exploda”.

Passo 4

De forma mais técnica, se sumn=1^infty |an| converge, então pelo Critério da Comparação, já que |an| >= an (se considerarmos an positivos, ou utilizando o valor absoluto), a série sumn=1^infty an também converge.

Passo 5

Portanto, mostramos que a conversão absoluta da série garante a sua convergência, já que a soma dos termos absolutos sendo finita assegura que a soma original também seja finita.

Resposta

Assim, provamos que se a série sumn=1^infty an é absolutamente convergente, então ela é convergente.

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty 1n ln (n)
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
a_n = arctg(ln(n))
Calcule raiz(2)^(raiz(2) raiz(2) ...)
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty(110^n+2^n)