Prove que se a série
é absolutamente convergente, então ela é convergente.
Passo 1
Beleza, então a gente tem aqui uma série
que é absolutamente convergente. Nosso objetivo é provar que se essa série é absolutamente convergente, então ela também é convergente. Vamos precisar entender o que é convergência absoluta e como ela garante a convergência da série original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série
é absolutamente convergente se a série das suas magnitudes, ou seja,
, também converge.
Passo 3
A gente sabe que se
converge, então a série original
também converge. Isso acontece porque a convergência da série das magnitudes implica que os termos
estão se tornando suficientemente pequenos para que a soma deles não “exploda”.
Passo 4
De forma mais técnica, se
converge, então pelo Critério da Comparação, já que
(se considerarmos
positivos, ou utilizando o valor absoluto), a série
também converge.
Passo 5
Portanto, mostramos que a conversão absoluta da série garante a sua convergência, já que a soma dos termos absolutos sendo finita assegura que a soma original também seja finita.
Resposta
Assim, provamos que se a série
é absolutamente convergente, então ela é convergente.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Determine se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, e calcule o limite caso seja convergente.
Calcule
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível: