Calcule as raízes dos números complexos dados. (1 + i * raiz(3))^(1 / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as raízes quadradas do número complexo . Isso envolve trabalhar com números complexos e um pouquinho de álgebra. Vamos precisar encontrar dois números complexos que, quando elevados ao quadrado, resultem em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária ( ). Queremos encontrar e tais que:

Passo 3

Vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a propriedade distributiva:
Sabemos que , então:
Isso pode ser separado em parte real e imaginária:

Passo 4

Agora, podemos igualar as partes reais e imaginárias de ambos os lados da equação:
á
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos essa expressão de na primeira equação:
Calculando o quadrado:

Passo 7

Multiplicamos todos os termos por para eliminar o denominador:
Reorganizando a equação:

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja , então a equação fica:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Isso nos dá duas soluções para :
Como e quadrado de um número real não pode ser negativo, descartamos . Portanto:

Passo 9

Agora, vamos encontrar usando a relação :
Para :
Para :

Resposta

As raízes quadradas de são:

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