Calcule as raízes dos números complexos dados.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as raízes quadradas do número complexo
. Isso envolve trabalhar com números complexos e um pouquinho de álgebra. Vamos precisar encontrar dois números complexos que, quando elevados ao quadrado, resultem em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária (
). Queremos encontrar
e
tais que:
Passo 3
Vamos expandir o lado esquerdo da equação usando a propriedade distributiva:
Sabemos que
, então:
Isso pode ser separado em parte real e imaginária:
Passo 4
Agora, podemos igualar as partes reais e imaginárias de ambos os lados da equação:
Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
).
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituímos essa expressão de
na primeira equação:
Calculando o quadrado:
Passo 7
Multiplicamos todos os termos por
para eliminar o denominador:
Reorganizando a equação:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja
, então a equação fica:
Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Como
e quadrado de um número real não pode ser negativo, descartamos
. Portanto:
Passo 9
Agora, vamos encontrar
usando a relação
:
Para
:
Para
:
Resposta
As raízes quadradas de
são: