Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.
sumn=1^infty (-1)^n+1n^32

Passo 1

Tá, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1n^32 converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. A matéria aqui é sobre convergência de séries, e para resolver isso, vamos precisar analisar se a série original e a sua versão com valores absolutos convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se, quando a gente tira o valor absoluto de todos os termos, a série resultante ainda converge. Então, vamos olhar para a série com os termos em módulo:
sumn=1^infty |(-1)^n+1n^32| = sumn=1^infty 1n^32

Passo 3

Agora, vamos analisar essa nova série sumn=1^infty 1n^32. Essa é uma série p, onde o termo geral é 1n^p. Sabemos que uma série p converge se o expoente p > 1. No nosso caso, p = 32, que é maior que 1.

Passo 4

Como p = 32 > 1, a série sumn=1^infty 1n^32 converge. Isso significa que a série original sumn=1^infty (-1)^n+1n^32 também converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1n^32 converge absolutamente.

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