Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular as raízes de quarto de um número complexo, especificamente . Isso envolve trabalhar com números complexos e usar conceitos como forma polar e fórmula de De Moivre para encontrar as raízes e depois representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o número complexo na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde é o módulo e é o argumento do número complexo.

Passo 3

Calculando o módulo :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento . Como o número está no segundo quadrante (parte real negativa e parte imaginária positiva), usamos:

Passo 5

Com o módulo e o argumento, a forma polar é:

Passo 6

Para encontrar as raízes de quarto, usamos a fórmula de De Moivre para raízes:
onde e .

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Agora, calculamos cada uma das raízes para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 9

Calculando os valores trigonométricos:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,

Passo 10

Multiplicando pelos valores calculados:

Resposta

As quatro raízes de quarto de são aproximadamente:
A representação gráfica dessas raízes forma os vértices de um quadrado no plano complexo.

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Prove que
,
sendo qualquer raiz -ésima da unidade, diferente de 1 .