Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa calcular as raízes de quarto de um número complexo, especificamente
. Isso envolve trabalhar com números complexos e usar conceitos como forma polar e fórmula de De Moivre para encontrar as raízes e depois representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o número complexo
na forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por:
onde
é o módulo e
é o argumento do número complexo.
Passo 3
Calculando o módulo
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
. Como o número está no segundo quadrante (parte real negativa e parte imaginária positiva), usamos:
Passo 5
Com o módulo e o argumento, a forma polar é:
Passo 6
Para encontrar as raízes de quarto, usamos a fórmula de De Moivre para raízes:
onde
e
.
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Agora, calculamos cada uma das raízes para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculando os valores trigonométricos:
-
, -
, -
, -
,
Passo 10
Multiplicando pelos valores calculados:
Resposta
As quatro raízes de quarto de
são aproximadamente:
A representação gráfica dessas raízes forma os vértices de um quadrado no plano complexo.