Prove que
,
sendo
qualquer raiz
-ésima da unidade, diferente de 1 .
sendo
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos provar que a soma
é igual a
, onde
é uma raiz
-ésima da unidade diferente de 1.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, especialmente sobre raízes da unidade, e técnicas de somas de séries geométricas. Precisaremos manipular expressões envolvendo potências de
e aplicar propriedades dessas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma raiz
-ésima da unidade. Um número complexo
é uma raiz
-ésima da unidade se
. Existem exatamente
raízes diferentes da unidade, distribuídas uniformemente no círculo complexo.
Como
, vamos explorar as propriedades dessas raízes para simplificar a soma que queremos provar.
Passo 3
Vamos chamar a soma que queremos provar de
:
Observamos que os coeficientes aumentam de 1 até
e as potências de
começam em 0 e vão até
.
Uma técnica útil para somar séries desse tipo é multiplicar a soma por
e depois subtrair a soma original dessa nova expressão.
Passo 4
Multiplicando
por
, temos:
Agora, vamos subtrair essa expressão da soma original
:
Passo 5
Fazendo a subtração termo a termo, obtemos:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Sabemos que
, pois
é uma raiz
-ésima da unidade. Substituindo isso na equação:
Fatorando
:
Passo 7
A soma
é uma série geométrica. Para a razão
, a soma é dada por:
Como
, substituímos:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A soma
é igual a
.
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Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
O volume de um cone circular reto com raio
e altura
é
. Suponha que
cm . O que leva a um aumento maior em
, um aumento de
ou um aumento de 1 cm em
? Argumente usando derivadas parciais.