Prove que
,
sendo qualquer raiz -ésima da unidade, diferente de 1 .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos provar que a soma é igual a , onde é uma raiz -ésima da unidade diferente de 1.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, especialmente sobre raízes da unidade, e técnicas de somas de séries geométricas. Precisaremos manipular expressões envolvendo potências de e aplicar propriedades dessas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma raiz -ésima da unidade. Um número complexo é uma raiz -ésima da unidade se . Existem exatamente raízes diferentes da unidade, distribuídas uniformemente no círculo complexo.
Como , vamos explorar as propriedades dessas raízes para simplificar a soma que queremos provar.

Passo 3

Vamos chamar a soma que queremos provar de :
Observamos que os coeficientes aumentam de 1 até e as potências de começam em 0 e vão até .
Uma técnica útil para somar séries desse tipo é multiplicar a soma por e depois subtrair a soma original dessa nova expressão.

Passo 4

Multiplicando por , temos:
Agora, vamos subtrair essa expressão da soma original :

Passo 5

Fazendo a subtração termo a termo, obtemos:
Simplificando cada termo:

Passo 6

Sabemos que , pois é uma raiz -ésima da unidade. Substituindo isso na equação:
Fatorando :

Passo 7

A soma é uma série geométrica. Para a razão , a soma é dada por:
Como , substituímos:
Portanto:

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :
Multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A soma é igual a .

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