Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função . O que a gente quer é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função, ou seja, e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral e derivadas parciais, especialmente a regra de Leibniz para derivação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de Leibniz. Quando temos uma integral definida com limites que dependem de uma variável, a derivada em relação a essa variável é dada pela função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior menos a função integranda avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior. Em fórmulas, se , então:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos e . A função integranda é .

Passo 4

Vamos primeiro calcular . Usando a regra de Leibniz:
Como , temos . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Novamente, usando a regra de Leibniz:
Como , temos . Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

Exercícios relacionados

Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência , em que representa a população no ano . O crescimento anual é de do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano .
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano .
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para ?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de ? (Em outras palavras, encontre para que .)
Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Prove que
,
sendo qualquer raiz -ésima da unidade, diferente de 1 .