Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
. O que a gente quer é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função, ou seja,
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral e derivadas parciais, especialmente a regra de Leibniz para derivação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra de Leibniz. Quando temos uma integral definida com limites que dependem de uma variável, a derivada em relação a essa variável é dada pela função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior menos a função integranda avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior. Em fórmulas, se
, então:
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, temos
e
. A função integranda
é
.
Passo 4
Vamos primeiro calcular
. Usando a regra de Leibniz:
Como
, temos
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Novamente, usando a regra de Leibniz:
Como
, temos
. Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: