Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
. O que a gente quer é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função, ou seja,
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral e derivadas parciais, especialmente a regra de Leibniz para derivação de integrais com limites variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra de Leibniz. Quando temos uma integral definida com limites que dependem de uma variável, a derivada em relação a essa variável é dada pela função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior menos a função integranda avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior. Em fórmulas, se
, então:
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, temos
e
. A função integranda
é
.
Passo 4
Vamos primeiro calcular
. Usando a regra de Leibniz:
Como
, temos
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Novamente, usando a regra de Leibniz:
Como
, temos
. Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Exercícios relacionados
Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Uma pequena ilha tem uma população inicial de 1000 coelhos. A cada ano, a população de coelhos aumenta de acordo com uma sequência
, em que
representa a população no ano
. O crescimento anual é de
do número de coelhos presentes no início de cada ano.
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência que descreve a população de coelhos no ano
.
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após .
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para em termos do ano
.
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos .
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para . Como isso afetaria a fórmula explícita para
?
(ii) Recalcule a população após 10 anos usando a nova taxa de crescimento.
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de para o qual a população
excederá a capacidade de suporte da ilha, usando a taxa de crescimento original de
? (Em outras palavras, encontre
para que
.)
(a) Modelagem da Sequência
(i) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência
(ii) Usando a fórmula recursiva, calcule a população de coelhos após
(b) Comportamento a Longo Prazo
(i) Determine a fórmula explícita para
(ii) Utilize a fórmula explícita para calcular a população de coelhos após 10 anos
© Análise de Variação de Parâmetros
(i) Suponha que a taxa de crescimento anual mude para
(ii) Recalcule a população após 10 anos
(d) Considerações Ambientais
Suponha que a ilha tem uma capacidade de suporte máxima de 5000 coelhos. Qual é o menor valor de
Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.
Prove que
,
sendo qualquer raiz
-ésima da unidade, diferente de 1 .
sendo