Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
F(x, y)=integraly^x cos (e^t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função . O que a gente quer é encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função, ou seja, e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral e derivadas parciais, especialmente a regra de Leibniz para derivação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de Leibniz. Quando temos uma integral definida com limites que dependem de uma variável, a derivada em relação a essa variável é dada pela função integranda avaliada no limite superior vezes a derivada do limite superior menos a função integranda avaliada no limite inferior vezes a derivada do limite inferior. Em fórmulas, se partial Fpartial x = f(b(x)) cdot db(x)dx , então:
partial Fpartial y = -f(a(y)) cdot da(y)dy

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos e . A função integranda é .

Passo 4

Vamos primeiro calcular partial Fpartial x = cos(e^b(x)) cdot db(x)dx . Usando a regra de Leibniz:
partial Fpartial x = cos(e^x) cdot 1 = cos(e^x)
Como , temos . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Fpartial y = -cos(e^a(y)) cdot da(y)dy . Novamente, usando a regra de Leibniz:
partial Fpartial y = -cos(e^y) cdot 1 = -cos(e^y)
Como , temos . Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial Fpartial x = cos(e^x)
partial Fpartial y = -cos(e^y)

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