Calcule as raízes dos números complexos dados. raiz(2 i).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente calcule as raízes do número complexo . Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos e operações com eles, como a forma polar e a extração de raízes. Vamos precisar entender como representar números complexos na forma polar e aplicar fórmulas para encontrar as raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo na forma polar. Lembrando que todo número complexo pode ser escrito como , onde é o módulo e r é o argumento.
Aqui, theta está no eixo imaginário, então:
  • Módulo ( ): r
  • Argumento ( ): theta (ou radianos), já que está no eixo positivo do imaginário.
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, para encontrar a raiz quadrada de , usamos a fórmula das raízes para números complexos na forma polar. Se temos , suas raízes quadradas são:
onde para obter as duas ra��zes distintas.
Aplicando isso para :
Então, para :
E para :

Passo 4

Vamos simplificar essas expressões. Sabemos que:
Então, substituindo:
Para :
Para k = 0:

Resposta

As raízes de são e .

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