Calcule as raízes dos números complexos dados.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente calcule as raízes do número complexo
. Para isso, vamos usar conhecimentos de números complexos e operações com eles, como a forma polar e a extração de raízes. Vamos precisar entender como representar números complexos na forma polar e aplicar fórmulas para encontrar as raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
na forma polar. Lembrando que todo número complexo pode ser escrito como , onde
é o módulo e
é o argumento.
Aqui,
está no eixo imaginário, então:
- Módulo (
): - Argumento (
): (ou radianos), já que está no eixo positivo do imaginário.
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, para encontrar a raiz quadrada de
, usamos a fórmula das raízes para números complexos na forma polar. Se temos , suas raízes quadradas são:
onde
para obter as duas ra��zes distintas.
Aplicando isso para
:
Então, para
:
E para
:
Passo 4
Vamos simplificar essas expressões. Sabemos que:
Então, substituindo:
Para
:
Para
:
Resposta
As raízes de
são
e
.