Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as equações de Cauchy-Riemann para verificar se a função
é analítica e em que domínio ela é analítica. Se for analítica, também precisamos encontrar a derivada
. Vamos precisar entender o que são as equações de Cauchy-Riemann, o conceito de função analítica e como calcular derivadas de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de uma variável complexa
, onde
, é analítica em um domínio se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann nesse domínio, ou seja:
Além disso, as funções
e
precisam ter derivadas parciais contínuas nesse domínio.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, escrevemos
, então:
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado de
, que é
:
Então, podemos identificar
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar as equações de Cauchy-Riemann.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Comparando
e
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos verificar
e
.
Calculando
:
E
:
Então,
e
.
Portanto,
.
Passo 6
Como ambas as condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo lugar onde
(isto é,
), podemos concluir que a função
é analítica em todo o domínio onde
não é zero.
Passo 7
Agora que sabemos que a função é analítica onde
, podemos calcular a derivada
. Sabemos que para funções analíticas, a derivada pode ser calculada usando:
Já calculamos
e
, então:
Podemos reescrever isso como:
Reconhecendo que
quando multiplicado por
, podemos simplificar para:
Resposta
A função
é analítica em todo domínio onde
, e sua derivada é
.
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que são funções do
grau, ou seja, da forma
, para
e
constantes.
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.