Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar as equações de Cauchy-Riemann para verificar se a função é analítica e em que domínio ela é analítica. Se for analítica, também precisamos encontrar a derivada . Vamos precisar entender o que são as equações de Cauchy-Riemann, o conceito de função analítica e como calcular derivadas de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de uma variável complexa , onde , é analítica em um domínio se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann nesse domínio, ou seja:
Além disso, as funções e precisam ter derivadas parciais contínuas nesse domínio.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, escrevemos , então:
Para simplificar, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado de , que é :
Então, podemos identificar e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar as equações de Cauchy-Riemann.
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :
Comparando e :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos verificar e .
Calculando :
E :
Então, e .
Portanto, .

Passo 6

Como ambas as condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todo lugar onde (isto é, ), podemos concluir que a função é analítica em todo o domínio onde não é zero.

Passo 7

Agora que sabemos que a função é analítica onde , podemos calcular a derivada . Sabemos que para funções analíticas, a derivada pode ser calculada usando:
Já calculamos e , então:
Podemos reescrever isso como:
Reconhecendo que quando multiplicado por , podemos simplificar para:

Resposta

A função é analítica em todo domínio onde , e sua derivada é .

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