Calcule as raízes dos números complexos dados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes cúbicas de um número complexo, que nesse caso é . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e como calcular raízes de números complexos usando a forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo tem a forma , onde é a parte real e é a parte imaginária. No nosso caso, é um número complexo onde e .

Passo 3

Agora, para calcular as raízes cúbicas de , é mais fácil se a gente transformar esse número para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por , onde:
  • é o módulo (ou magnitude) do número.
  • é o argumento (ou ângulo) do número.

Passo 4

Vamos calcular o módulo de :
Então, o módulo é 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o argumento . Como está no eixo imaginário negativo, o ângulo é radianos (ou 270 graus, se preferir em graus).

Passo 6

Então, podemos escrever na forma polar:
Mas, para facilitar, podemos também usar :

Passo 7

Para encontrar as raízes cúbicas, usamos a fórmula das raízes de números complexos. A raiz de ordem de um número complexo é dada por:
No nosso caso, , , e .

Passo 8

Aplicando a fórmula:

Passo 9

Vamos calcular para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As três raízes cúbicas de são:

Exercícios relacionados

Estabeleça os limites indicados.
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
e)
Nos problemas a seguir, verifique que a função dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
a)
Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.