Calcule as raízes dos números complexos dados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as raízes cúbicas de um número complexo, que nesse caso é
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e como calcular raízes de números complexos usando a forma polar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo tem a forma
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso,
é um número complexo onde
e
.
Passo 3
Agora, para calcular as raízes cúbicas de
, é mais fácil se a gente transformar esse número para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por
, onde:
-
é o módulo (ou magnitude) do número. -
é o argumento (ou ângulo) do número.
Passo 4
Vamos calcular o módulo
de
:
Então, o módulo é 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o argumento
. Como
está no eixo imaginário negativo, o ângulo é
radianos (ou 270 graus, se preferir em graus).
Passo 6
Então, podemos escrever
na forma polar:
Mas, para facilitar, podemos também usar
:
Passo 7
Para encontrar as raízes cúbicas, usamos a fórmula das raízes de números complexos. A raiz de ordem
de um número complexo
é dada por:
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Vamos calcular para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As três raízes cúbicas de
são:
Exercícios relacionados
Estabeleça os limites indicados.
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
e)
e)
Nos problemas a seguir, verifique que a função
dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
a)
a)
Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.