Estabeleça os limites indicados. lim z i 4 z+iz+1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, trabalharemos com funções racionais no contexto dos números complexos. Para resolver esse tipo de limite, precisamos substituir diretamente o valor para o qual está tendendo, desde que a função seja contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, identificamos o ponto para o qual está tendendo, que é . Vamos substituir por na expressão .

Passo 3

Substituindo 4(i) + ii + 1 = 4i + ii + 1 = 5ii + 1 por :

Passo 4

Agora, para simplificar a expressão 5ii + 1 times 1 - i1 - i = 5i(1 - i)(i + 1)(1 - i) , podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária no denominador.
O conjugado de é .
Portanto:

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
5i(1 - i) = 5i - 5i^2
Sabemos que 5i - 5(-1) = 5i + 5 = 5 + 5i , então:
(i + 1)(1 - i) = i(1) - i(i) + 1(1) - 1(i) = i - i^2 + 1 - i
Denominador:
i - (-1) + 1 - i = i + 1 + 1 - i = 2
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos:
5 + 5i2 = 52 + 5i2

Resposta

O limite é .

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