Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir as partes real e imaginária da função
. Aqui, estamos lidando com números complexos, então vamos precisar usar um pouco de álgebra de números complexos e a fórmula de Euler para exponenciais de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Então, nosso objetivo é expressar
em termos de
e
e separar as partes real e imaginária.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Usando a fórmula de Euler, sabemos que:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
. Substituindo
por
, temos:
Então,
.
Passo 5
Para multiplicar esses dois números complexos, usamos a regra de multiplicação de binômios complexos:
Aplicando isso aqui:
Passo 6
Simplificando os termos, temos:
Resposta
As partes real e imaginária da função
são, respectivamente: