Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para descobrir as partes real e imaginária da função
. Aqui, estamos lidando com números complexos, então vamos precisar usar um pouco de álgebra de números complexos e a fórmula de Euler para exponenciais de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Então, nosso objetivo é expressar
em termos de
e
e separar as partes real e imaginária.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Usando a fórmula de Euler, sabemos que:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
. Substituindo
por
, temos:
Então,
.
Passo 5
Para multiplicar esses dois números complexos, usamos a regra de multiplicação de binômios complexos:
Aplicando isso aqui:
Passo 6
Simplificando os termos, temos:
Resposta
As partes real e imaginária da função
são, respectivamente:
Exercícios relacionados
Nos problemas a seguir, verifique que a função
dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
a)
a)
Calcule as raízes dos números complexos dados.
Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções do
grau, ou seja, da forma
, para
e
constantes.
Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
.