Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária e precisa descobrir três coisas sobre ela: a ordem, o grau e a linearidade. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais, que é uma parte importante da matemática quando queremos modelar fenômenos que mudam com o tempo ou o espaço. Para isso, vamos analisar cada parte da equação que você me deu.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação diferencial. A ordem é definida pelo maior número de derivadas presentes na equação. Olhando para a equação:
Temos a segunda derivada de
em relação ao tempo, que é
. Não há derivadas de ordem superior, então a ordem da equação é 2.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau da equação diferencial. O grau é o expoente da maior derivada quando a equação está em forma polinomial. Para isso, precisamos escrever a equação de forma que todas as derivadas estejam elevadas a potências inteiras. Nossa equação já está quase assim:
Observamos que a derivada
está elevada ao quadrado dentro do termo
. Isso significa que o grau da equação é 2.
Passo 4
Por último, vamos verificar a linearidade da equação. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita como uma soma de funções de
e suas derivadas, cada uma multiplicada por uma função que depende apenas da variável independente (neste caso, o tempo). Vamos reescrever a equação:
Aqui, temos o termo
, que é
elevada ao cubo. Isso torna a equação não linear, porque temos potências não lineares das derivadas.
Resposta
A equação diferencial dada é de segunda ordem, de grau 2 e não linear.
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c)
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Calcule as raízes dos números complexos dados.