Calcule as raízes dos números complexos dados.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular as raízes cúbicas do número complexo
. Isso faz parte da matéria de Números Complexos, especificamente sobre raízes de números complexos. Para resolver isso, vamos usar a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar como:
onde
é o módulo e
é o argumento do número complexo.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos encontrar o módulo
e o argumento
de
.
O módulo de
é:
O argumento de
é:
Então, podemos escrever
na forma polar:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula das raízes
-ésimas de um número complexo. A fórmula geral para as raízes cúbicas é:
onde
para as três raízes cúbicas.
Passo 5
Aplicando essa fórmula para
e
:
Como
, simplificamos para:
Passo 6
Vamos calcular cada raiz para
:
Para
:
Sabemos que
e , então:
Para
:
Sabemos que
e , então:
Para
:
Sabemos que
e , então:
Resposta
As três raízes cúbicas de
são:
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.
.
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.
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.
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c)
c)
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e)
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