Calcule as raízes dos números complexos dados.

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular as raízes cúbicas do número complexo . Isso faz parte da matéria de Números Complexos, especificamente sobre raízes de números complexos. Para resolver isso, vamos usar a forma polar dos números complexos e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma polar como:
onde é o módulo e é o argumento do número complexo.

Passo 3

No nosso caso, temos . Vamos encontrar o módulo e o argumento de .
O módulo de é:
O argumento de é:
Então, podemos escrever na forma polar:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula das raízes -ésimas de um número complexo. A fórmula geral para as raízes cúbicas é:
onde para as três raízes cúbicas.

Passo 5

Aplicando essa fórmula para e :
Como , simplificamos para:

Passo 6

Vamos calcular cada raiz para :
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Sabemos que e , então:

Resposta

As três raízes cúbicas de são:

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