Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função complexa dada por . O objetivo é verificar se essa função é analítica usando as Equações de Cauchy-Riemann e, se for, encontrar sua derivada
. Para isso, precisamos entender um pouco sobre funções de variável complexa e as Equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Vamos começar identificando as partes real e imaginária da função. Sabemos que uma função complexa pode ser escrita como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. No nosso caso:
Essas duas funções
e
dependem das variáveis reais
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser analítica, essas equações precisam ser satisfeitas:
Vamos calcular essas derivadas parciais para
e
.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Depois,
:
Comparando essas duas derivadas:
Portanto, a primeira Equação de Cauchy-Riemann não é satisfeita.
Passo 5
Ainda assim, vamos verificar a segunda Equação de Cauchy-Riemann para completar o processo. Calculamos
:
E
:
Comparando:
A segunda Equação de Cauchy-Riemann também não é satisfeita.
Passo 6
Como as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, concluímos que a função não é analítica em nenhum domínio do plano complexo.
Resposta
A função não é analítica em nenhum domínio do plano complexo, pois não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.
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.
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