Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma função complexa dada por . O objetivo é verificar se essa função é analítica usando as Equações de Cauchy-Riemann e, se for, encontrar sua derivada . Para isso, precisamos entender um pouco sobre funções de variável complexa e as Equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes real e imaginária da função. Sabemos que uma função complexa pode ser escrita como , onde é a parte real e é a parte imaginária. No nosso caso:
Essas duas funções e dependem das variáveis reais e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar das Equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser analítica, essas equações precisam ser satisfeitas:
Vamos calcular essas derivadas parciais para e .

Passo 4

Primeiro, calculamos :
Depois, :
Comparando essas duas derivadas:
Portanto, a primeira Equação de Cauchy-Riemann não é satisfeita.

Passo 5

Ainda assim, vamos verificar a segunda Equação de Cauchy-Riemann para completar o processo. Calculamos :
E :
Comparando:
A segunda Equação de Cauchy-Riemann também não é satisfeita.

Passo 6

Como as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas, concluímos que a função não é analítica em nenhum domínio do plano complexo.

Resposta

A função não é analítica em nenhum domínio do plano complexo, pois não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann.

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