Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar uma equação diferencial ordinária (EDO) para descobrir três coisas: a ordem, o grau e a linearidade dela. A equação que vamos analisar é:
Nesse exercício, a gente vai precisar entender o que significam ordem, grau e linearidade em EDOs e como identificar cada um desses aspectos na equação dada.
Passo 2
Ordem da Equação Diferencial:
A ordem de uma EDO é o maior grau das derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação:
A derivada de maior ordem é a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Portanto, a ordem da equação é 2.
Passo 3
Grau da Equação Diferencial:
O grau de uma EDO é o expoente da derivada de maior ordem, após a equação estar resolvida para essa derivada e quando a equação é um polinômio nas derivadas. Primeiro, vamos ver se conseguimos expressar a equação de forma polinomial.
Nossa equação já est�� resolvida para a segunda derivada:
Temos uma raiz quadrada envolvendo a primeira derivada. Para que a equação seja polinomial nas derivadas, não pode haver raízes ou funções não polinomiais das derivadas. Portanto, essa equação não é polinomial nas derivadas, o que significa que o grau não está definido nesse caso.
Passo 4
Linearidade da Equação Diferencial:
Uma EDO é linear se ela pode ser escrita na forma:
onde os coeficientes
são funções de
e
é uma função conhecida, sem que as derivadas de
sejam multiplicadas ou possuem expoentes diferentes de 1.
Na nossa equação:
A presença da raiz quadrada de
faz com que a equação não seja linear, pois temos uma função não linear das derivadas. Portanto, a equação é não linear.
Resposta
Ordem: 2
Grau: Não definido
Linearidade: Não linear
Grau: Não definido
Linearidade: Não linear
Exercícios relacionados
Calcule as raízes dos números complexos dados.
Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
.
.
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
e)
e)
Estabeleça os limites indicados.