Calcule a regra da cadeia da seguinte função, no ponto dado (partial fpartial s) :
f(x, y)=sen(x y^2)-x^2 y, x(s, t)=s^2-s t, y(s, t)=t^2 s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função depende de e , que por sua vez são funções de e . Então, vamos usar a Regra da Cadeia para derivar tudo certinho. Vamos precisar das derivadas de em relação a e , e também das derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f(x, y) = sin(x y^2) - x^2 y em relação a partial fpartial x = cos(x y^2) cdot y^2 - 2x y e partial fpartial y = cos(x y^2) cdot 2x y - x^2 .
A função é:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar x(s, t) = s^2 - s t e y(s, t) = t^2 s^2 em relação a partial xpartial s = 2s - t .
As funções são:
partial ypartial s = 2t^2 s
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia para partial fpartial s = partial fpartial x cdot partial xpartial s + partial fpartial y cdot partial ypartial s :
Vamos substituir as derivadas que calculamos nos passos anteriores.

Passo 5

Substituindo as derivadas:
partial fpartial s = ( cos(x y^2) y^2 - 2x y ) cdot (2s - t) + ( 2x y cos(x y^2) - x^2 ) cdot (2t^2 s)

Passo 6

Agora, simplificando a expressão:
partial fpartial s = (2s - t) cos(x y^2) y^2 - 2(2s - t) x y + 4 t^2 s x y cos(x y^2) - 2 t^2 s x^2

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial s = (2s - t) cos(x y^2) y^2 - 2(2s - t) x y + 4 t^2 s x y cos(x y^2) - 2 t^2 s x^2 em relação a é:

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