Encontre os valores extremos locais de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores extremos locais da função de duas variáveis:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo de funções de várias variáveis, especificamente procurando máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar achar as derivadas parciais da função e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando modificamos uma variável de cada vez.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 4
Da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora, substituímos
na equação
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Como
e
, o ponto
é um máximo local.
Resposta
O ponto
é um máximo local da função.
Exercícios relacionados
Prove que:
.
Desenhe várias curvas de nivel no domínio da função. Identifique cada curva de nível com o seu respectivo valor da função.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: