Encontre os valores extremos locais de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores extremos locais da função de duas variáveis:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo de funções de várias variáveis, especificamente procurando máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar achar as derivadas parciais da função e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando modificamos uma variável de cada vez.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 4

Da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos na equação :
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Como e , o ponto é um máximo local.

Resposta

O ponto é um máximo local da função.

Exercícios relacionados

Prove que: .
Desenhe várias curvas de nivel no domínio da função. Identifique cada curva de nível com o seu respectivo valor da função.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: