Mostre, usando o Teorema de Gauss para um campo vetorial do tipo , com constante, que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, usando o Teorema de Gauss, uma igualdade envolvendo integrais de campos vetoriais. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss, trabalhar com campos do tipo , e aplicar conceitos de cálculo vetorial como divergência e circulação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona a integral de divergência de um campo vetorial dentro de um volume com a integral de fluxo desse campo através da superfície que delimita o volume . Matemáticamente, é escrito como:
onde é um campo vetorial e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

No nosso caso, o campo vetorial é . Mas queremos relacionar isso com uma integral de superfície envolvendo . Para isso, precisamos explorar uma identidade vetorial que conecta divergência e circulação.

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo , onde é um vetor constante. Usando a propriedade da divergência do produto cruzado, temos:
Como é constante, . Portanto, simplificando:

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Gauss ao campo :
Substituindo a divergência que encontramos:

Passo 6

Queremos relacionar isso com . Vamos reescrever o lado direito da igualdade usando propriedades do produto misto:
Isso significa que:
Como é constante, podemos puxá-lo para fora da integral:
Comparando com a expressão original que queremos mostrar, vemos que:

Resposta

Assim, demonstramos que:

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