Mostre, usando o Teorema de Gauss para um campo vetorial do tipo
, com
constante, que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar, usando o Teorema de Gauss, uma igualdade envolvendo integrais de campos vetoriais. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss, trabalhar com campos do tipo
, e aplicar conceitos de cálculo vetorial como divergência e circulação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona a integral de divergência de um campo vetorial dentro de um volume
com a integral de fluxo desse campo através da superfície que delimita o volume
. Matemáticamente, é escrito como:
onde
é um campo vetorial e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
No nosso caso, o campo vetorial é
. Mas queremos relacionar isso com uma integral de superfície envolvendo
. Para isso, precisamos explorar uma identidade vetorial que conecta divergência e circulação.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo
, onde
é um vetor constante. Usando a propriedade da divergência do produto cruzado, temos:
Como
é constante,
. Portanto, simplificando:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Gauss ao campo
:
Substituindo a divergência que encontramos:
Passo 6
Queremos relacionar isso com
. Vamos reescrever o lado direito da igualdade usando propriedades do produto misto:
Isso significa que:
Como
é constante, podemos puxá-lo para fora da integral:
Comparando com a expressão original que queremos mostrar, vemos que:
Resposta
Assim, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Seja
um campo vetorial. Mostre que
em que
é o Laplaciano de um vetor, definido, em coordenadas cartesianas, tomando-se o Laplaciano de cada componente, qual seja
Dica: Comece pela componente
de
. Generalize para as outras componentes por analogia.
O campo vetorial
, dado por
para
e
constantes, é um vetor constante? Escreva um vetor constante em termos de
,
e
, caso A não o seja.
Prove que o fluxo de um campo vetorial do tipo
através de uma superfície fechada é nulo. Faça isso dividindo a superfície em duas partes para, em seguida, usar o Teorema de Stokes.
Calcule o rendimento da máquina térmica em questão (em função de
, x e y).