Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(b) , para um contorno C sobre o círculo: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de ao longo de um contorno que é o círculo . Isso está dentro da matéria de Cálculo Complexo, mais especificamente sobre integrais de contorno e o Teorema de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender onde estão os pontos onde a função não é analítica (os chamados polos) e ver se esses pontos estão dentro do contorno .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem problemas, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando , ou seja, em . Esse ponto é o nosso polo.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse polo está dentro do nosso contorno . O contorno é o círculo , que representa todos os pontos no plano complexo cuja distância até a origem é 2. O ponto tem , que é maior que 2. Isso significa que o polo está fora do contorno.

Passo 4

Quando não há polos dentro do contorno, o Teorema de Cauchy nos diz que a integral de uma função analítica ao longo desse contorno é zero. Como nosso único polo está fora, podemos concluir diretamente isso.

Resposta

A integral vale 0.

Exercícios relacionados

Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a .
©
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e) , para um contorno C sobre o círculo: .
Inverta a ordem de integração.
(b)