Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(b)
, para um contorno C sobre o círculo:
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de
ao longo de um contorno
que é o círculo
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Complexo, mais especificamente sobre integrais de contorno e o Teorema de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender onde estão os pontos onde a função não é analítica (os chamados polos) e ver se esses pontos estão dentro do contorno
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem problemas, ou seja, onde o denominador é zero. Isso acontece quando
, ou seja, em
. Esse ponto é o nosso polo.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse polo está dentro do nosso contorno
. O contorno é o círculo
, que representa todos os pontos no plano complexo cuja distância até a origem é 2. O ponto
tem
, que é maior que 2. Isso significa que o polo está fora do contorno.
Passo 4
Quando não há polos dentro do contorno, o Teorema de Cauchy nos diz que a integral de uma função analítica ao longo desse contorno é zero. Como nosso único polo está fora, podemos concluir diretamente isso.
Resposta
A integral vale 0.
Exercícios relacionados
Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
(b)
(b)
Calcule o resíduo das seguintes funções para um contorno dado por um círculo de raio igual a
.
©
©
Calcule as seguintes integrais (justifique suas respostas):
(e) , para um contorno C sobre o círculo:
.
(e)
Inverta a ordem de integração.
(b)
(b)