Calcule o resíduo em z0 de f(z) : f(z) = 1 / (z^4 + 1) e z0 = e^(pi i / 4)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o resíduo da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos de funções racionais em pontos singulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o resíduo de uma função em um ponto onde ela tem um polo simples (ou seja, de ordem 1) pode ser calculado usando a fórmula:
onde é o denominador da função, no nosso caso .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . Temos:

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar no ponto :

Passo 5

Finalmente, aplicando a fórmula do resíduo:

Resposta

O resíduo de em é .

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