Use o teorema da convolução para calcular a transformada inversa de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de
usando o teorema da convolução. Isso significa que vamos usar um pouco de álgebra de transformadas de Laplace e entender como a convolução funciona para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que temos:
. A ideia aqui é separar essa função em duas partes que a gente conhece a transformada inversa. Podemos fazer isso escrevendo a fração como o produto de duas funções mais simples.
Passo 3
Vamos escrever
como o produto de
e
. Assim, temos:
Isso facilita porque já sabemos as transformadas inversas dessas partes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de cada uma dessas partes:
- Para
, a transformada inversa é . - Para
, a transformada inversa é .
Passo 5
Segundo o teorema da convolução, a transformada inversa do produto de duas funções é a convolução das transformadas inversas dessas funções. Ou seja:
A convolução
significa que vamos integrar o produto das duas funções deslocadas no tempo.
Passo 6
Vamos calcular a convolução:
Para resolver essa integral, podemos usar técnicas de integração por partes ou reconhecer que o resultado será uma combinação de funções exponenciais e trigonomêtricas.
Passo 7
Após resolver a integral, encontramos que:
Isso simplifica nossa resposta final.
Resposta
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Calcule o resíduo em
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Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Determine a série de Laurent de
para cada um dos domínios abaixo: