Use o teorema da convolução para calcular a transformada inversa de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada inversa de usando o teorema da convolução. Isso significa que vamos usar um pouco de álgebra de transformadas de Laplace e entender como a convolução funciona para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que temos: . A ideia aqui é separar essa função em duas partes que a gente conhece a transformada inversa. Podemos fazer isso escrevendo a fração como o produto de duas funções mais simples.

Passo 3

Vamos escrever como o produto de e . Assim, temos:
Isso facilita porque já sabemos as transformadas inversas dessas partes.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de cada uma dessas partes:
  1. Para , a transformada inversa é .
  2. Para , a transformada inversa é .

Passo 5

Segundo o teorema da convolução, a transformada inversa do produto de duas funções é a convolução das transformadas inversas dessas funções. Ou seja:
A convolução significa que vamos integrar o produto das duas funções deslocadas no tempo.

Passo 6

Vamos calcular a convolução:
Para resolver essa integral, podemos usar técnicas de integração por partes ou reconhecer que o resultado será uma combinação de funções exponenciais e trigonomêtricas.

Passo 7

Após resolver a integral, encontramos que:
Isso simplifica nossa resposta final.

Resposta

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