Calcule o resíduo em z0 de f(z) : f(z) = z cos(1/z) e z0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o resíduo da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Laurent e identificar o coeficiente que acompanha o termo na expansão da função ao redor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o resíduo de uma função em um ponto é justamente o coeficiente do termo na sua expansão em série de Laurent. No nosso caso, como , estamos procurando o coeficiente de na série de Laurent de .

Passo 3

Vamos expandir a função em série de Taylor. Sabemos que:
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa expansão por para obter :

Passo 5

Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente do termo na série acima. Vamos resolver:
Então, quando , o termo é:

Resposta

O resíduo de em é .

Exercícios relacionados