Calcule o resíduo em
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o resíduo da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Laurent e identificar o coeficiente que acompanha o termo
na expansão da função ao redor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o resíduo de uma função em um ponto é justamente o coeficiente do termo
na sua expansão em série de Laurent. No nosso caso, como
, estamos procurando o coeficiente de
na série de Laurent de
.
Passo 3
Vamos expandir a função
em série de Taylor. Sabemos que:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa expansão por
para obter
:
Passo 5
Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente do termo
na série acima. Vamos resolver:
Então, quando
, o termo é:
Resposta
O resíduo de
em
é
.