Calcule o resíduo em : e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o resíduo da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre séries de Laurent e resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o resíduo de uma função em um ponto é o coeficiente de na expansão em série de Laurent dessa função ao redor de . Como , queremos o coeficiente de na expansão de .

Passo 3

Vamos expandir usando a série de Taylor para a exponencial, que é . Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos essa expansão por :

Passo 5

Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente de na série acima, ou seja, o termo onde o expoente de é :

Passo 6

Agora, calculamos o coeficiente correspondente a :

Resposta

O resíduo de em é .

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