Calcule o resíduo em
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o resíduo da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre séries de Laurent e resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o resíduo de uma função em um ponto
é o coeficiente de
na expansão em série de Laurent dessa função ao redor de
. Como
, queremos o coeficiente de
na expansão de
.
Passo 3
Vamos expandir
usando a série de Taylor para a exponencial, que é
. Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa expansão por
:
Passo 5
Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente de
na série acima, ou seja, o termo onde o expoente de
é
:
Passo 6
Agora, calculamos o coeficiente correspondente a
:
Resposta
O resíduo de
em
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o resíduo em
:
e
Determine a série de Laurent de
para cada um dos domínios abaixo:
Calcule o resíduo em
:
e
Use o teorema da convolução para calcular a transformada inversa de
.