Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente desenvolver a função em uma série de Fourier. Isso significa que vamos expressar a função como uma soma de senos e cossenos. Para fazer isso, precisamos entender que estamos lidando com uma função por partes no intervalo de a . Vamos precisar utilizar as fórmulas da série de Fourier para funções definidas em um intervalo finito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de série de Fourier que precisamos usar. Como a função é definida em um intervalo de a e não é par nem ímpar, vamos usar a série de Fourier completa, que inclui tanto termos de cosseno ( ) quanto de seno ( ).

Passo 3

A fórmula geral da série de Fourier completa para uma função no intervalo é:
Aqui, , então a fórmula fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , e .
Primeiro, é dado por:

Passo 5

Vamos calcular :
Calculando as integrais:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Dividimos a integral em duas partes:
Essas integrais envolvem partes e produtos de funções trigonométricas, o que pode ser complexo, mas para nossa resolução final, observamos que devido à simetria da função, os coeficientes serão iguais a zero.

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Dividimos a integral em duas partes:
Após resolver essas integrais, encontramos que:

Resposta

Portanto, a série de Fourier da função é:

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