Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais! O problema que temos é:
A matéria envolvida aqui é integração de funções racionais utilizando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os graus do polinômio no numerador e no denominador. O grau do numerador é 3 (porque o termo de maior grau é ) e o grau do denominador é 4 (porque resulta em um polinômio de grau 4).
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Podemos passar direto para a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é , que é um fator quadrático repetido, nossa decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Agora, vamos expandir o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes no lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar , , e :
Da primeira equação:
Então,
Substituindo na segunda equação:
Então,
Substituindo e na terceira equação:
Então,
Substituindo na quarta equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos os valores de , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado no denominador :
Isso nos ajudará a integrar termos que envolvem , que são padrões conhecidos.
Passo 9
Vamos resolver a primeira integral:
Fazendo a substituição , então e . Substituindo na integral:
Podemos separar essa fração:
Agora, integramos cada termo:
Substituindo de volta :
Passo 10
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Novamente, usando a substituição , e :
Vamos separar essa fração:
Para , fazemos a substituição , então :
Para , usamos a fórmula:
Aqui, :
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Substituindo de volta :
Passo 11
Agora, somamos as integrais das duas partes que resolvemos: