Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 5 x^3-x^2+15 x-10(x^2-2 x+5)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais! O problema que temos é:
integral 5x^3 - x^2 + 15x - 10(x^2 - 2x + 5)^2 , dx
A matéria envolvida aqui é integração de funções racionais utilizando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus do polinômio no numerador e no denominador. O grau do numerador é 3 (porque o termo de maior grau é ) e o grau do denominador é 4 (porque resulta em um polinômio de grau 4).
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Podemos passar direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é 5x^3 - x^2 + 15x - 10(x^2 - 2x + 5)^2 = Ax + Bx^2 - 2x + 5 + Cx + D(x^2 - 2x + 5)^2 , que é um fator quadrático repetido, nossa decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por 5x^3 - x^2 + 15x - 10 = (Ax + B)(x^2 - 2x + 5) + (Cx + D) :
(Ax + B)(x^2 - 2x + 5) = Ax^3 - 2Ax^2 + 5Ax + Bx^2 - 2Bx + 5B
Agora, vamos expandir o lado direito:
5x^3 - x^2 + 15x - 10 = Ax^3 - 2Ax^2 + 5Ax + Bx^2 - 2Bx + 5B + Cx + D
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes no lado direito:
Ax^3 + (-2A + B)x^2 + (5A - 2B + C)x + (5B + D)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Ax^3: & 5 = A x^2: & -1 = -2A + B x: & 15 = 5A - 2B + C constante: & -10 = 5B + D

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar , , e :
  1. Da primeira equação:

    Então,
  2. Substituindo na segunda equação:


    Então,
  3. Substituindo e na terceira equação:



    Então,
  4. Substituindo na quarta equação:


    Então,

Passo 7

Agora que temos os valores de 5x^3 - x^2 + 15x - 10(x^2 - 2x + 5)^2 = 5x + 9x^2 - 2x + 5 + 8x - 55(x^2 - 2x + 5)^2 , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x + 9x^2 - 2x + 5 , dx + integral 8x - 55(x^2 - 2x + 5)^2 , dx
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado no denominador x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 :
Isso nos ajudará a integrar termos que envolvem , que são padrões conhecidos.

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral:
integral 5x + 9(x - 1)^2 + 4 , dx
Fazendo a substituição integral 5(u + 1) + 9u^2 + 4 , du = integral 5u + 14u^2 + 4 , du , então 5 integral uu^2 + 4 , du + 14 integral 1u^2 + 4 , du e 52 ln|x^2 - 2x + 5| + 7 arctan(x - 12) + C . Substituindo na integral:
Podemos separar essa fração:
Agora, integramos cada termo:
Substituindo de volta :

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 8x - 55(x^2 - 2x + 5)^2 , dx
Novamente, usando a substituição integral 8(u + 1) - 55(u^2 + 4)^2 , du = integral 8u + 8 - 55(u^2 + 4)^2 , du = integral 8u - 47(u^2 + 4)^2 , du , 8 integral u(u^2 + 4)^2 , du - 47 integral 1(u^2 + 4)^2 , du e 12 integral 1v^2 , dv = -12v + C = -12(u^2 + 4) + C :
integral 1(u^2 + a^2)^2 , du = u2a^2(u^2 + a^2) + 12a^3 arctan(ua) + C
Vamos separar essa fração:
u8(u^2 + 4) + 116 arctan(u2) + C
  1. Para 8 (-12(u^2 + 4)) - 47 (u8(u^2 + 4) + 116 arctan(u2)) + C , fazemos a substituição -4u^2 + 4 - 47u8(u^2 + 4) - 4716 arctan(u2) + C , então -4x^2 - 2x + 5 - 47(x - 1)8(x^2 - 2x + 5) - 4716 arctan(x - 12) + C :
  1. Para , usamos a fórmula:
Aqui, :
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Substituindo de volta :

Passo 11

Agora, somamos as integrais das duas partes que resolvemos:
52 ln|x^2 - 2x + 5| + 7 arctan(x - 12) - 4x^2 - 2x + 5 - 47(x - 1)8(x^2 - 2x + 5) - 4716 arctan(x - 12) + C
Podemos simplificar os termos com arctan:
7 arctan(x - 12) - 4716 arctan(x - 12) = (7 - 4716) arctan(x - 12) = 112 - 4716 arctan(x - 12) = 6516 arctan(x - 12)
Também podemos combinar os termos fracionários:
-4x^2 - 2x + 5 - 47(x - 1)8(x^2 - 2x + 5) = -328(x^2 - 2x + 5) - 47(x - 1)8(x^2 - 2x + 5) = -32 + 47(x - 1)8(x^2 - 2x + 5) = -47x + (-47) + (-32)8(x^2 - 2x + 5) = -47x - 798(x^2 - 2x + 5)

Passo 12

Finalmente, nossa expressão final fica:
52 ln|x^2 - 2x + 5| + 6516 arctan(x - 12) - 47x - 798(x^2 - 2x + 5) + C

Resposta

A integral é igual a
52 ln|x^2 - 2x + 5| + 6516 arctan(x - 12) - 47x - 798(x^2 - 2x + 5) + C

Exercícios relacionados