Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais! O problema que temos é:
A matéria envolvida aqui é integração de funções racionais utilizando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus do polinômio no numerador e no denominador. O grau do numerador é 3 (porque o termo de maior grau é ) e o grau do denominador é 4 (porque resulta em um polinômio de grau 4).
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Podemos passar direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é , que é um fator quadrático repetido, nossa decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Agora, vamos expandir o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes no lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar , , e :
  1. Da primeira equação:

    Então,
  2. Substituindo na segunda equação:


    Então,
  3. Substituindo e na terceira equação:



    Então,
  4. Substituindo na quarta equação:


    Então,

Passo 7

Agora que temos os valores de , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado no denominador :
Isso nos ajudará a integrar termos que envolvem , que são padrões conhecidos.

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral:
Fazendo a substituição , então e . Substituindo na integral:
Podemos separar essa fração:
Agora, integramos cada termo:
Substituindo de volta :

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Novamente, usando a substituição , e :
Vamos separar essa fração:
  1. Para , fazemos a substituição , então :
  1. Para , usamos a fórmula:
Aqui, :
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Substituindo de volta :

Passo 11

Agora, somamos as integrais das duas partes que resolvemos:
Podemos simplificar os termos com arctan:
Também podemos combinar os termos fracionários:

Passo 12

Finalmente, nossa expressão final fica:

Resposta

A integral é igual a

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Calcule as respectivas derivadas: