Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais! O problema que temos é:
A matéria envolvida aqui é integração de funções racionais utilizando frações parciais. Para isso, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os graus do polinômio no numerador e no denominador. O grau do numerador é 3 (porque o termo de maior grau é ) e o grau do denominador é 4 (porque resulta em um polinômio de grau 4).
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Podemos passar direto para a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Como o denominador é , que é um fator quadrático repetido, nossa decomposição será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por :
Agora, vamos expandir o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes no lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar , , e :
Da primeira equação:
Então,
Substituindo na segunda equação:
Então,
Substituindo e na terceira equação:
Então,
Substituindo na quarta equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos os valores de 5x^3 - x^2 + 15x - 10(x^2 - 2x + 5)^2 = 5x + 9x^2 - 2x + 5 + 8x - 55(x^2 - 2x + 5)^2 , , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:
Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado no denominador x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 :
Isso nos ajudará a integrar termos que envolvem , que são padrões conhecidos.
Passo 9
Vamos resolver a primeira integral:
integral 5x + 9(x - 1)^2 + 4 , dx
Fazendo a substituição integral 5(u + 1) + 9u^2 + 4 , du = integral 5u + 14u^2 + 4 , du , então 5 integral uu^2 + 4 , du + 14 integral 1u^2 + 4 , du e 52 ln|x^2 - 2x + 5| + 7 arctan(x - 12) + C . Substituindo na integral:
Podemos separar essa fração:
Agora, integramos cada termo:
Substituindo de volta :
Passo 10
Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 8x - 55(x^2 - 2x + 5)^2 , dx
Novamente, usando a substituição integral 8(u + 1) - 55(u^2 + 4)^2 , du = integral 8u + 8 - 55(u^2 + 4)^2 , du = integral 8u - 47(u^2 + 4)^2 , du , 8 integral u(u^2 + 4)^2 , du - 47 integral 1(u^2 + 4)^2 , du e 12 integral 1v^2 , dv = -12v + C = -12(u^2 + 4) + C :
integral 1(u^2 + a^2)^2 , du = u2a^2(u^2 + a^2) + 12a^3 arctan(ua) + C
Vamos separar essa fração:
u8(u^2 + 4) + 116 arctan(u2) + C
Para 8 (-12(u^2 + 4)) - 47 (u8(u^2 + 4) + 116 arctan(u2)) + C , fazemos a substituição -4u^2 + 4 - 47u8(u^2 + 4) - 4716 arctan(u2) + C , então -4x^2 - 2x + 5 - 47(x - 1)8(x^2 - 2x + 5) - 4716 arctan(x - 12) + C :
Para , usamos a fórmula:
Aqui, :
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Substituindo de volta :
Passo 11
Agora, somamos as integrais das duas partes que resolvemos: