Calcule as respectivas derivadas: f(x)=integralx^x^2 1ln (1+t^2) d t

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com uma integral que tem limites que dependem de . Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais com limites variáveis.

Passo 2

A Regra de Leibniz diz que, se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de f(x) = integrala(x)^b(x) g(t) , dt :
f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
então a derivada g(t) = 1ln (1+t^2), a(x) = x, b(x) = x^2 é:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos limites:
a'(x) = ddx (x) = 1
b'(x) = ddx (x^2) = 2x

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de Leibniz:
f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores:
f'(x) = 1ln (1+(x^2)^2) cdot 2x - 1ln (1+x^2) cdot 1

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2xln (1 + x^4) - 1ln (1 + x^2)

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