Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas: integral x1+4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x1+4 x^2 , dx usando a regra da substituição. Aqui, a matéria envolvida é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, simplificando a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para o denominador 1 + 4x^2, percebemos que sua derivada em relação a x é 8x. No numerador temos x, que é semelhante. Para facilitar, vamos escolher .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 8x Rightarrow du = 8x , dx em relação a x , dx = du8 para encontrar :
Queremos isolar , então dividimos ambos os lados por 8:

Passo 4

Substituindo integral x1 + 4x^2 , dx = integral 1u cdot du8 = 18 integral 1u , du e na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a integral usando a substituição escolhida.

Passo 5

Agora, integramos 18 integral 1u , du = 18 ln|u| + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 18 ln|1 + 4x^2| + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

integral x1+4 x^2 , dx = 18 ln|1 + 4x^2| + C

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