Calcule a reta tangente e a reta normal à função y = x2 + 2x no ponto x0= 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente e a reta normal à função $ y = x^2 + 2x $ no ponto onde $ x_0 = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função. Também vamos precisar calcular o valor da função nesse ponto para obter as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ y $ quando $ x = 1 $. Isso vai nos dar o ponto exato onde a reta tangente e a reta normal vão tocar a função.
Substituindo $ x = 1 $ na função:
Então, o ponto de interesse é $ (1, 3) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ y = x^2 + 2x $. A derivada, $ y’ $, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Derivando cada termo:
Passo 4
Com a derivada $ y’ = 2x + 2 $, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.
Passo 5
Agora que temos a inclinação da reta tangente (4) e o ponto $ (1, 3) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde $ m $ é a inclinação e $ (x_1, y_1) $ é o ponto. Substituindo:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é $ y = 4x - 1 $.
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos primeiro saber que ela é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Como a inclinação da reta tangente é 4:
Passo 7
Com a inclinação da reta normal $ -\frac{1}{4} $ e o mesmo ponto $ (1, 3) $, vamos usar novamente a fórmula da equação da reta:
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é $ y = -\frac{1}{4}x + \frac{13}{4} $.
Resposta
A reta tangente à função no ponto $ x_0 = 1 $ é $ y = 4x - 1 $ e a reta normal é $ y = -\frac{1}{4}x + \frac{13}{4} $.