Calcule a reta tangente e a reta normal à função y = x2 + 2x no ponto x0= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a reta tangente e a reta normal à função $ y = x^2 + 2x $ no ponto onde $ x_0 = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função. Também vamos precisar calcular o valor da função nesse ponto para obter as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ y $ quando $ x = 1 $. Isso vai nos dar o ponto exato onde a reta tangente e a reta normal vão tocar a função.
Substituindo $ x = 1 $ na função:
y
Então, o ponto de interesse é $ (1, 3) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ y = x^2 + 2x $. A derivada, $ y’ $, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Derivando cada termo:
y = x^2 + 2x

Passo 4

Com a derivada $ y’ = 2x + 2 $, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto $ x = 1 $:
y' = 2x + 2
Então, a inclinação da reta tangente é 4.

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente (4) e o ponto $ (1, 3) $, podemos usar a fórmula da equação da reta:
(1, 3)
Onde $ m $ é a inclinação e $ (x_1, y_1) $ é o ponto. Substituindo:
y - y1 = m(x - x1)
Simplificando:
m
(x1, y1)
Então, a equação da reta tangente é $ y = 4x - 1 $.

Passo 6

Para encontrar a reta normal, precisamos primeiro saber que ela é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Como a inclinação da reta tangente é 4:
mnormal = -14

Passo 7

Com a inclinação da reta normal $ -\frac{1}{4} $ e o mesmo ponto $ (1, 3) $, vamos usar novamente a fórmula da equação da reta:
-14
Simplificando:
(1, 3)
y - 3 = -14(x - 1)
Então, a equação da reta normal é $ y = -\frac{1}{4}x + \frac{13}{4} $.

Resposta

A reta tangente à função no ponto $ x_0 = 1 $ é $ y = 4x - 1 $ e a reta normal é $ y = -\frac{1}{4}x + \frac{13}{4} $.

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