Determine a solução geral da equação diferencial 2 y ′′ − 12 y ′ 20 y = 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo linear de segunda ordem:
A gente vai precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral que abrange todas as possíveis soluções dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
Agora a equação está mais simples:
Passo 3
Em seguida, a gente forma a equação característica associada a essa equação diferencial. Para isso, substituímos
por
,
por
e
por 1, ficando:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Passo 5
Como o discriminante é negativo (
), sabemos que as raízes são complexas. Vamos calcular:
Passo 6
Agora que temos as raízes complexas
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
.
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial é: