Determine a solução geral da equação diferencial 2 y ′′ − 12 y ′ 20 y = 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo linear de segunda ordem:
2 y'' - 12 y' + 20 y = 0
A gente vai precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral que abrange todas as possíveis soluções dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
y'' - 6 y' + 10 y = 0
Agora a equação está mais simples:
y'' - 6 y' + 10 y = 0

Passo 3

Em seguida, a gente forma a equação característica associada a essa equação diferencial. Para isso, substituímos y'' por r^2, y' por r e y por 1, ficando:
r^2 - 6 r + 10 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 102 cdot 1
Calculando o discriminante ( De):
De

Passo 5

Como o discriminante é negativo ( De), sabemos que as raízes são complexas. Vamos calcular:
r = 6 pm raiz-42 = 6 pm 2i2 = 3 pm i

Passo 6

Agora que temos as raízes complexas r = 3 pm i, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Onde alpha = 3 e beta = 1.

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial é:
y(x) = e^3x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

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