Calcule o rotacional:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o rotacional de várias funções vetoriais. O rotacional, ou curl em inglês, é uma operação que nos dá uma medida de quanto um campo vetorial “gira” ao redor de um ponto. Para calcular o rotacional de um campo vetorial
, usamos a seguinte fórmula:
Vamos precisar calcular derivadas parciais de cada componente do vetor para cada item do exercício.
Passo 2
a)
Vamos identificar as componentes:
Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Passo 3
b)
Componentes:
Aplicando o rotacional:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Passo 4
c)
Componentes:
Aplicando o rotacional:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Passo 5
d)
Aqui, o vetor depende apenas de
e
, então estamos trabalhando em duas dimensões. O rotacional em 2D é dado por:
Componentes:
Calculando:
Substituindo:
Passo 6
e)
Novamente, estamos em duas dimensões. Aplicamos a mesma fórmula do rotacional em 2D:
Componentes:
Calculando:
Substituindo:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)