Calcule o rotacional:
a) F(x, y, z)=(-y, x, z).
b) F(x, y, z)=(x, x, x z).
c) F(x, y, z)=(y z, x z, x y).
d) F(x, y)=(x^2+y^2, 0).
e) F(x, y)=(x y,-x^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o rotacional de várias funções vetoriais. O rotacional, ou curl em inglês, é uma operação que nos dá uma medida de quanto um campo vetorial “gira” ao redor de um ponto. Para calcular o rotacional de um campo vetorial rot , F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) , usamos a seguinte fórmula:
Vamos precisar calcular derivadas parciais de cada componente do vetor para cada item do exercício.

Passo 2

a) rot , F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos identificar as componentes:
  • rot , F = (0 - 0, 0 - 0, 1 - (-1)) = (0, 0, 2)
Agora, aplicando a fórmula do rotacional:
Calculando cada termo:
Substituindo:

Passo 3

b) rot , F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Componentes:
  • rot , F = (0 - 0, 0 - z, 1 - 0) = (0, -z, 1)
Aplicando o rotacional:
Calculando cada termo:
Substituindo:

Passo 4

c) rot , F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Componentes:
  • rot , F = (x - x, y - y, z - z) = (0, 0, 0)
Aplicando o rotacional:
Calculando cada termo:
Substituindo:

Passo 5

d) rot , F = ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Aqui, o vetor depende apenas de rot , F = (0 - 2y) k = -2y , k e , então estamos trabalhando em duas dimensões. O rotacional em 2D é dado por:
Componentes:
Calculando:
Substituindo:

Passo 6

e) rot , F = ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Novamente, estamos em duas dimensões. Aplicamos a mesma fórmula do rotacional em 2D:
rot , F = (-2x - x) k = -3x , k
Componentes:
Calculando:
Substituindo:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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