Verify that the del operator applied to a plane harmonic wave function
yields the result
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar que, quando aplicamos o operador del na função de onda harmônica plana
, o resultado é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador del, como funciona essa função de onda e como calcular derivadas de funções com expoentes complexos.
Passo 2
Primeiro, lembra do operador del? Ele é representado por
e é um operador vetorial que usa as derivadas parciais em relação às coordenadas espaciais
,
e
. Ou seja, quando a gente aplica o del em uma função escalar (como nossa função de onda
), ele retorna um vetor cujas componentes são as derivadas parciais dessa função em cada direção.
Passo 3
Agora, vamos olhar a nossa função de onda:
. Aqui,
é o vetor de onda,
é o vetor posição (com componentes
,
,
), e
é a frequência angular. O produto escalar
dá
.
Passo 4
Para aplicar o operador del em
, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Vamos fazer isso uma por uma.
Passo 5
Vamos começar com a derivada em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia pra derivar o expoente e multiplicar pelo fator que vem da derivada.
Passo 6
Fazendo a mesma coisa para
e
:
Cada derivada traz o respectivo componente do vetor
multiplicado por
.
Passo 7
Então, juntando tudo, o operador del aplicado em
fica:
Resposta
Concluímos que
.