Verify that the del operator applied to a plane harmonic wave function f=e^i(k cdot r-omega t) yields the result nabla f=i k f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar que, quando aplicamos o operador del na função de onda harmônica plana , o resultado é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o operador del, como funciona essa função de onda e como calcular derivadas de funções com expoentes complexos.

Passo 2

Primeiro, lembra do operador del? Ele é representado por e é um operador vetorial que usa as derivadas parciais em relação às coordenadas espaciais , e . Ou seja, quando a gente aplica o del em uma função escalar (como nossa função de onda ), ele retorna um vetor cujas componentes são as derivadas parciais dessa função em cada direção.

Passo 3

Agora, vamos olhar a nossa função de onda: . Aqui, é o vetor de onda, é o vetor posição (com componentes , , ), e é a frequência angular. O produto escalar .

Passo 4

Para aplicar o operador del em , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Vamos fazer isso uma por uma.

Passo 5

Vamos começar com a derivada em relação a partial fpartial x = partialpartial x e^i(kx x + ky y + kz z - omega t) = i kx e^i(k cdot r - omega t) = i kx f :
Aqui, usamos a regra da cadeia pra derivar o expoente e multiplicar pelo fator que vem da derivada.

Passo 6

Fazendo a mesma coisa para partial fpartial y = i ky f e partial fpartial z = i kz f :
Cada derivada traz o respectivo componente do vetor multiplicado por .

Passo 7

Então, juntando tudo, o operador del aplicado em nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = i (kx, ky, kz) f = i k f fica:

Resposta

Concluímos que .

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