The electric vector of a wave is given by the real expression
E=E0[i cos (k z-omega t)+j b cos (k z-omega t+phi)]
Show that this is equivalent to the complex expression
E=E0(i+j b e^i phi) e^i(k z-omega t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas expressões para o vetor elétrico de uma onda eletromagnética. A primeira é uma expressão real que usa cossenos, e a segunda é uma expressão complexa que usa exponenciais. Nosso objetivo aqui é mostrar que essas duas expressões são equivalentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas, vetores e números complexos, especialmente a fórmula de Euler que liga funções trigonométricas com exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão real que a gente tem:
E = E0[i cos (k z - omega t) + j b cos (k z - omega t + phi)]
Aqui, E é o vetor elétrico, E0 é a amplitude, i e j são os vetores unitários nas direções x e y, k é o número de onda, omega é a frequência angular, z é a posição, t é o tempo, b é uma constante que ajusta a amplitude na direção y, e phi é a diferença de fase.

Passo 3

Agora, queremos chegar na expressão complexa:
E = E0(i + j b e^i phi) e^i(k z - omega t)
Para fazer isso, vamos usar a fórmula de Euler, que diz que:
e^itheta = cos theta + i sin theta
Isso nos permite expressar cossenos em termos de exponenciais complexas.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de Euler em cada termo da expressão real. Primeiro, para a componente x:
cos(k z - omega t) = Re(e^i(k z - omega t))
E para a componente y:
cos(k z - omega t + phi) = Re(e^i(k z - omega t + phi))
Aqui, “Re” significa que estamos pegando a parte real da expressão complexa.

Passo 5

Substituindo essas expressões na expressão real do vetor elétrico, temos:
E = E0[i Re(e^i(k z - omega t)) + j b Re(e^i(k z - omega t + phi))]
Agora, vamos fatorar o termo comum e^i(k z - omega t):
E = E0 Re[(i + j b e^i phi) e^i(k z - omega t)]

Resposta

Portanto, mostramos que a expressão real do vetor elétrico é equivalente à expressão complexa fornecida:
E = E0(i + j b e^i phi) e^i(k z - omega t)

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