The electric vector of a wave is given by the real expression
Show that this is equivalent to the complex expression
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas expressões para o vetor elétrico de uma onda eletromagnética. A primeira é uma expressão real que usa cossenos, e a segunda é uma expressão complexa que usa exponenciais. Nosso objetivo aqui é mostrar que essas duas expressões são equivalentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas, vetores e números complexos, especialmente a fórmula de Euler que liga funções trigonométricas com exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão real que a gente tem:
Aqui,
é o vetor elétrico,
é a amplitude,
e
são os vetores unitários nas direções x e y,
é o número de onda,
é a frequência angular,
é a posição,
é o tempo,
é uma constante que ajusta a amplitude na direção y, e
é a diferença de fase.
Passo 3
Agora, queremos chegar na expressão complexa:
Para fazer isso, vamos usar a fórmula de Euler, que diz que:
Isso nos permite expressar cossenos em termos de exponenciais complexas.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula de Euler em cada termo da expressão real. Primeiro, para a componente x:
E para a componente y:
Aqui, “Re” significa que estamos pegando a parte real da expressão complexa.
Passo 5
Substituindo essas expressões na expressão real do vetor elétrico, temos:
Agora, vamos fatorar o termo comum
:
Resposta
Portanto, mostramos que a expressão real do vetor elétrico é equivalente à expressão complexa fornecida: