The electric vector of a wave is given by the real expression
Show that this is equivalent to the complex expression

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas expressões para o vetor elétrico de uma onda eletromagnética. A primeira é uma expressão real que usa cossenos, e a segunda é uma expressão complexa que usa exponenciais. Nosso objetivo aqui é mostrar que essas duas expressões são equivalentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas, vetores e números complexos, especialmente a fórmula de Euler que liga funções trigonométricas com exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão real que a gente tem:
Aqui, é o vetor elétrico, é a amplitude, e são os vetores unitários nas direções x e y, é o número de onda, é a frequência angular, é a posição, é o tempo, é uma constante que ajusta a amplitude na direção y, e é a diferença de fase.

Passo 3

Agora, queremos chegar na expressão complexa:
Para fazer isso, vamos usar a fórmula de Euler, que diz que:
Isso nos permite expressar cossenos em termos de exponenciais complexas.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de Euler em cada termo da expressão real. Primeiro, para a componente x:
E para a componente y:
Aqui, “Re” significa que estamos pegando a parte real da expressão complexa.

Passo 5

Substituindo essas expressões na expressão real do vetor elétrico, temos:
Agora, vamos fatorar o termo comum :

Resposta

Portanto, mostramos que a expressão real do vetor elétrico é equivalente à expressão complexa fornecida:

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(b)
©
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