Calcule o rotacional dos campos vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular o rotacional de um campo vetorial. O enunciado nos dá o campo vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional (também conhecido como “curl” em inglês). Para isso, precisamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional. Se tivermos um campo vetorial , o rotacional é dado por:
Isso significa que vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar os componentes do rotacional.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo :
Agora, vamos montar a matriz com essas componentes e as derivadas parciais.

Passo 4

Montando a matriz para o determinante:
Vamos calcular cada parte do determinante separadamente.

Passo 5

Calculando a componente :
Aqui, porque não depende de , e .

Passo 6

Calculando a componente :
Aqui, e porque não depende de .

Passo 7

Calculando a componente :
Aqui, porque não depende de , e .

Passo 8

Agora, juntando todas as componentes calculadas:
Podemos escrever isso de forma vetorial:

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:

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©
(f)
Considere o campo vetorial
Calcule
se é a circunferência .
Use o Teorema do Divergente para calcular
onde é a esfera .