(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conhecimentos de limites envolvendo funções trigonométricas e um pouco de álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Então, fica:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão original:

Passo 4

Para facilitar o cálculo do limite, vamos reescrever essa expressão com um denominador comum:

Passo 5

Agora, precisamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar as expansões em série de Taylor para e perto de 0:

Passo 6

Elevando ao quadrado essas aproximações:

Passo 7

Substituindo essas aproximações na expressão do numerador:

Passo 8

No denominador, temos:

Passo 9

Agora, nossa expressão fica aproximadamente:

Resposta

Portanto, o limite é .

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