(f) lim x 0(1x^2-cot ^2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conhecimentos de limites envolvendo funções trigonométricas e um pouco de álgebra para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
cot x = cos xsin x
Então, cot^2 x = (cos xsin x)^2 = cos^2 xsin^2 x fica:

Passo 3

Agora, substituímos 1x^2 - cot^2 x = 1x^2 - cos^2 xsin^2 x na expressão original:

Passo 4

Para facilitar o cálculo do limite, vamos reescrever essa expressão com um denominador comum:
1x^2 - cos^2 xsin^2 x = sin^2 x - x^2 cos^2 xx^2 sin^2 x

Passo 5

Agora, precisamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando sin x approx x - x^36 se aproxima de 0. Para isso, vamos usar as expansões em série de Taylor para cos x approx 1 - x^22 e perto de 0:

Passo 6

Elevando ao quadrado essas aproximações:
sin^2 x approx (x - x^36)^2 = x^2 - x^43
cos^2 x approx (1 - x^22)^2 = 1 - x^2 + x^44

Passo 7

Substituindo essas aproximações na expressão do numerador:
sin^2 x - x^2 cos^2 x approx (x^2 - x^43) - x^2(1 - x^2 + x^44)
= x^2 - x^43 - x^2 + x^4 - x^64
= (-x^43 + x^4) + termos de ordem superior
= 2x^43 + termos pequenos

Passo 8

No denominador, temos:
x^2 sin^2 x approx x^2(x^2 - x^43) = x^4 - x^63

Passo 9

Agora, nossa expressão fica aproximadamente:
2x^43x^4 = 23

Resposta

Portanto, o limite é .

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