(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Vamos usar conhecimentos de limites envolvendo funções trigonométricas e um pouco de álgebra para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Então,
fica:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão original:
Passo 4
Para facilitar o cálculo do limite, vamos reescrever essa expressão com um denominador comum:
Passo 5
Agora, precisamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos usar as expansões em série de Taylor para
e
perto de 0:
Passo 6
Elevando ao quadrado essas aproximações:
Passo 7
Substituindo essas aproximações na expressão do numerador:
Passo 8
No denominador, temos:
Passo 9
Agora, nossa expressão fica aproximadamente:
Resposta
Portanto, o limite é
.