Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o rotacional e o divergente de um campo vetorial específico: . Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com operações de rotacional e divergente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do rotacional e do divergente e como aplicá-las a um campo vetorial.

Passo 2

Vamos começar calculando o divergente de . O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo vetorial está “se espalhando” a partir de um ponto. A fórmula do divergente em coordenadas cartesianas é:
Aqui, , , e .

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 4

Agora somamos essas derivadas para obter o divergente:

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional nos indica a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:

Passo 6

Vamos calcular cada termo do rotacional:
  1. (pois não depende de )
  2. (pois não depende de )
  3. (pois não depende de )

Passo 7

Agora substituímos esses valores na fórmula do rotacional:
Simplificando:

Resposta

O divergente de é e o rotacional de é .

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