Calcule o rotacional e divergente de cada campo vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o rotacional e o divergente de um campo vetorial específico:
. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com operações de rotacional e divergente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas do rotacional e do divergente e como aplicá-las a um campo vetorial.
Passo 2
Vamos começar calculando o divergente de
. O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo vetorial está “se espalhando” a partir de um ponto. A fórmula do divergente em coordenadas cartesianas é:
Aqui,
,
, e
.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 4
Agora somamos essas derivadas para obter o divergente:
Passo 5
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional nos indica a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é:
Passo 6
Vamos calcular cada termo do rotacional:
-
-
(pois não depende de ) -
(pois não depende de ) -
(pois não depende de ) -
-
Passo 7
Agora substituímos esses valores na fórmula do rotacional:
Simplificando:
Resposta
O divergente de
é
e o rotacional de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente das funções dadas:
Seja a transformação
. Desenhe a imagem de
.
Considerando a função
integrável no retangulo
temos que
Calcule
, sendo:
e
.