Seja a transformação
. Desenhe a imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a imagem da transformação
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa transformação funciona e qual tipo de superfície ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a transformação
. Aqui,
e
são parâmetros que determinam as coordenadas
e
no espaço tridimensional. A coordenada
é dada pela raiz quadrada de
.
Passo 3
Para entender melhor, vamos considerar a equação que essas coordenadas satisfazem. Se isolarmos
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Essa é a equação de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
Passo 4
Agora, observe que
implica que
é sempre não negativo, já que a raiz quadrada de um número é sempre positiva ou zero. Isso significa que estamos apenas considerando a parte superior da esfera, onde
.
Passo 5
Portanto, a imagem da transformação
é a parte superior da esfera unitária. Ou seja, todos os pontos
que satisfazem
com
.
Resposta
A imagem da transformação
é a parte superior da esfera unitária no espaço tridimensional, representada por todos os pontos que satisfazem
com
.
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