Seja a transformação f(u, v) = (u, v, raiz(1 - u^2 - v^2)). Desenhe a imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar a imagem da transformação . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como essa transformação funciona e qual tipo de superfície ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a transformação . Aqui, e são parâmetros que determinam as coordenadas e no espaço tridimensional. A coordenada é dada pela raiz quadrada de .

Passo 3

Para entender melhor, vamos considerar a equação que essas coordenadas satisfazem. Se isolarmos , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Essa é a equação de uma esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 4

Agora, observe que implica que é sempre não negativo, já que a raiz quadrada de um número é sempre positiva ou zero. Isso significa que estamos apenas considerando a parte superior da esfera, onde .

Passo 5

Portanto, a imagem da transformação é a parte superior da esfera unitária. Ou seja, todos os pontos que satisfazem com .

Resposta

A imagem da transformação é a parte superior da esfera unitária no espaço tridimensional, representada por todos os pontos que satisfazem com .

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